2025年均值不等式证法(精选五篇)

在日常的学习、工作、生活中，肯定对各类范文都很熟悉吧。写范文的时候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？接下来小编就给大家介绍一下优秀的范文该怎么写，我们一起来看一看吧。

均值不等式证法篇一

xy+1/xy≥17/

41=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥

2当且仅当xy=1/xy时取等

也就是xy=1时

画出xy+1/xy图像得

01时，单调增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得证

继续追问：

拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证

补充回答：

我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：

证xy+1/xy≥17/4

即证4(xy)²-17xy+4≥0

即证(4xy-1)(xy-4)≥0

即证xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈r+，x+y=

1显然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得证

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4x²y²-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!

二、已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn的式子即为均值不等式。

概念：

1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：qn=√

这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn

a1、a2、…、an∈r+，当且仅当a1=a2=…=an时劝=”号

均值不等式的一般形式：设函数d(r)=^(1/r)(当r不等于0时);

(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即d(0)=(a1a2...an)^(1/n))

则有：当r注意到hn≤gn≤an≤qn仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)

由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√

方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则(a+b)^n≥a^n+na^(n-1)b。

注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a+b≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

当n=2时易证;

假设当n=k时命题成立，即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，则

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

设s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)

={s/k+/}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f≥1/n*

设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln≥1/n*=ln

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)。均值不等式证法篇二

1、设a,br，求证：ab(ab)abab2abba2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)＞6abc

3、(abc)(1119) abbcca24、设a,br，且ab1，求证：(a)(b)

5、若ab1，求证：asinxbcosx

16、已知ab1，求证：ab

7、a,b,c,dr求证：1＜441a21b225 2221 8abcd+++＜2 abdbcacdbdac11118、求证2222＜2 123n

1111＜1

9、求证：2n1n22n10、求下列函数的最值

（1）已知x＞0，求y2x

（2）已知x＞2，求yx4的最大值（-2）x1的最小值（4）x

2111（3）已知0＜x＜，求yx(12x)的最大值（）221611、若正数a,b满足ab(ab)1则ab的最小值是（）

（22333）

12、已知正数a,b求使不等式(ab)k(ab)成立的最小k值为（）（4）

13、求函数y

14、二次函数f(x)xaxxa的两根x1,x2满足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范围（）（0，15、关于x的方程x2m(x3)2m140有两个实数根，且一个大于1，一个小于1，则m的取值范围是（）（m＜-

22221）

416、关于x的方程mx2x10至少有一个负根，则m的取值范围是（m1）

17、关于x的方程2kx2x3k20有两个实数根，一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围（k＞0或k＜-4）

218、为使方程x22px10的两根在（-2,2）内，求p的取值范围（-＜p＜

19、函数f(x)ax2x1有零点，则a的取值范围是（a

20、判断函数f(x)x-

21、已知方程x22343）41）411的零点的个数（一个）x395xk在1,1上有实数根，求实数k的取值范围（,）2162

22、已知方程7x2(m13)xm2m20有两个实数根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范围（(2,1)(3,4)）

23、关于的方程2axx10在（0,1）内恰有一解，求实数a的取值范围(1,)

24、若关于的方程lg(x

x2x220x)lg(8x6a3)0有唯一实根，求a的取值范围

均值不等式证法篇三

常用均值不等式及证明证明

这四种平均数满足hngn

anqn

、ana1、a2、r，当且仅当a1a2

an时取“=”号

仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用

均值不等式的变形：

(1)对实数a,b，有a

2b22ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b02ab

(4)对实数a,b，有

aa-bba-b

a2b2

2ab0

(5)对非负实数a,b，有

(8)对实数a,b,c，有

a2

b2c2abbcac

abcabc(10)对实数a,b,c，有

均值不等式的证明：

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则abannan-1b

n

注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a+b≥0(用数学归纳法)。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即

那么当n=k+1时，不妨设ak1是则设

a1,a2,,ak1中最大者，kak1a1a2ak1 sa1a2ak

用归纳假设

下面介绍个好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数fx,x1,x2,,xn是函数fx在区间(a,b)内的任意n个点，设fxlnx，f

x为上凸增函数所以，在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）

均值不等式证法篇四

课标分析

（1）课程标准要求：

课程标准对均值不等式要求探索并了解基本不等式的证明过程；会用 基本不等式解决简单的最大（小）问题。（2）课程标准解读

这个要求可以分为两个层次：一是探索并了解基本不等式的证明过 程；二是会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。从第一个层次来 看，要达到“探索并了解”，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问 题情景，启发学生的思维，获取感性认识。其次通过问题探究让学生步 步深入，剖析特点；最后利用不等式的性质将得出的结论，进行完整的 证明，并明确使用均值不等式的三个条件。第二个层次是应用层面，因 此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形 才可满足运用均值不等式的条件。

教材分析

本节是高中人教b版《数学》必修5第三章不等式第二节的内

容。本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。高中数学不等式是初中不等式知识的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用．高中不等式与其他知识联系紧密，具有工具性功能．高中数学课程标准加强了不等式知识与实际生活的联系，力求体现数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用．均值不等式的 两个作用非常重要：第一是证明不等式。第二个作用是求最值。用来求最值时三个条件缺一不可，这是学生掌握的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。教学重点：

理解均值定理并运用其解题。教学难点：

均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解 决实际问题的易错点。难点突破方法：

①多观察、勤类比、善归纳、重建构

② 题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点 学情分析

从知识方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式知识有一定的掌握，相关技能和能力有了一 定的提高，均值不等式的推出及证明过程学生可顺利得出，但均值不等式 的运用，以及公式的变形运是对学生的一个新的要求。因此，还需要学生 有一个逐步熟悉的过程。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习对学习有着较浓的学习兴趣。从能力上看，预测学生思维活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面，不够严谨，而且缺少系统的分析问题和解决问题的能力。从学生的思维特点看，不等式的成立，容易联系不等式的相关性质。不利因素是：本节课的重点讲均值不等式求最值，对等号是否成立，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用过程中更容易出错。所以我特意设置一个辨一辩的环节，借此引起学生的重视。从学生的不同层次来看 学优生在公式推导和运用方面掌握的较好。因此组织了三次小组讨论，并且在当堂小测环节设置了a组和让不同层次的孩子都有所收获。效果分析

（1）从目标达成上看：

学生在课堂上学习气氛热烈，兴趣浓厚，回答老师提问积极主动且正确率高，板演、上台展讲等环节，表现的也都很优秀，教师在课堂巡视时，发现除学案例题2的变式练习外，其它课堂练习完成情况很好。学案例题 2的变式练习，学生根据老师的提示，重新作答，也很好的完成。根据上面检测，前2个目标至少40人达成，第3个目标38人达成，很好的完成了预设目标。（班级43人）（2）从重、难点突破上看：

均值不等式能运用好的关键是认准均值

不等式成立的条件，以及什么样结构的式子适合用均值不等式求最值。对于学生来说，能一眼看到定值的还可以应付，稍微复杂或定值不太明 显的题目，学生还是缺少一定的认识。这方面的练习要强化一些。因此

我在教学中着力在这儿做文章，舍得花时间营造知识形成过程的氛围，通过问题串引导学生，突破学生学习的障碍点．同时，形成繁难的情境 激起了学生的求知欲，引导学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的 教学埋下伏笔。通过我的合理有效的问题串的引导，学生通过小组合作 探讨，比较顺利得辨别出均值不等式的使用环境，轻松突破本节课的重、难点。

（3）从课堂观察量表上看：

观课中老师使用了课程观察量（附件1）共有10名数学教师进行观课，有1名教师给打了99分，6名教师给打了98分，3名教师给打了97分，平均得分为

97.8分，平均得分比较高，说明总体效果较好。从课程观察量表各项得分上看，教师的课堂设计和课堂处理都达到了很好的评价，学生的参与度非常高、学生间的合作与小组间的合作很强、学生的思维状态很活跃，学习的效果较好。

（4）从课堂检测批改情况来看：课堂小测批改情况是：全班共43人，全 对的有38个同学，有4个同学错在b组练习。从这个结果可以看出，本节课学生基本掌握了所学内容，完成了学习任务。从上面的分析知，本节课所授内容基本与预设效果一致，评略得当，重点突出，难点突破。在问题的引入、讲解及应用的处理方法、时间安排都把握的比较好，能够 引导学生积极主动地探索，使学生学习兴趣浓厚，自主高效地完成课堂学习。根据课堂检测和课后反馈练习的批改情况，可以看出学生对公式的运用非常好，完整地实现了教学目标。

课后反思

本节课我对《均值不等式》的教学是采用引导提问式的教学方式进 行的，不是对学生进行知识的硬性灌输，而是通过问题的引入，问题的 探究进行循序渐进式的引导式教学，让学生在研究问题的过程中体会知 识的形成过程，在解决问题的过程中掌握知识的内容与实际应用，真正 实现了以学生为主体的课堂教学。在教学设计上，也力求调动一切积极 因素，尽最大的可能激发学生的学习兴趣。在教师的引导启发下，能使 学生的思维真正的围绕“探究”步步深入，层层递进，能在最大限度上挖 掘学生的学习潜能，也能更充分的体现学生学习的学习主体性。我认为本节课能达到以下教学效果：

1、科学设置学习目标，教学目标是教学活动的出发点，也是教学 活动的归宿，在教学活动中处于核心地位。教学目标是课堂教学的指挥 棒，是所有教学行为的指路明灯，具有导向作用。本节课，我确定了三 个学习目标。学习目标的细化，使学生明确本节课要做什么，怎样做，做到什么程度，而且我把三个目标简化在黑板上，适时回扣目标，本节 课的三个学习目标全部达成。

2、生活情境激发学生学习的兴趣，用赵爽弦图

引入课题，通过均值不等式的探究过程增强了学生的自信心，更能帮助学生感受研究方法 的思想渗透；

3、通过具体实例的研究探讨，让学生通过动手操作，合作交流，使学生能自己主动的发现，理解并掌握均值不等式。

4、精心设置问题串，教学中，我设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方法。通过问题引领学生进行思考和剖析，培养学生分析问题,解决问题的能力,使学生充分体会自主探索获得知识的成就感。在教学过程中贯彻新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生品味知识的形成过程。

5、均值不等式的的应用，尤其是例题和练习的具体感知更培养了学生分析、抽象、概括、逻辑推理的能力以及运用属性结合思想解决实际问题的能力；让学生自主探究，主动回答问题，班级 学习气氛浓厚，但有的孩子由于种种原因没有参与进来，有的孩子一节课表现了多次，没有把 机会让给其他孩子。后续

改进：

1、加强培养尖子生的带头作用，继续发展15人左右的答疑团队，让他们无论在课堂还 是课下，都发挥自己的数学优势，带领组上其他学生的进步。

2、加强基本功训练，提高语言的精炼与艺术性。

均值不等式证法篇五

均值不等式

定义

hn≤gn≤an≤qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。其中：

1、调和平均数：

2、几何平均数：

3、算术平均数：

4、平方平均数（均方根）：

一般形式

设函数（当r不等于0时）；

（当r=0时）特例可以注意到，hn≤gn≤an≤qn仅是上述不等式的特殊情形。

特例

可以注意到，hn≤gn≤an≤qn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术—几何均值不等式（am-gm不等式）： 当n=2时，上式即： 当且仅当时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，中学常用，即。

记忆

调几算方，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。均值不等式的

变形

(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)证明

均值不等式的证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设a≥0，b≥0，则(a＋b)^n≥a^n＋na^(n－1)b。

注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0，a＋b≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1＋a2＋„＋an)／n)^n≥a1a2„an。当n＝2时易证；

假设当n＝k时命题成立，即

((a1＋a2＋„＋ak)／k)^k≥a1a2„ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2，„，a(k＋1)中最大者，则 ka(k＋1)≥a1＋a2＋„＋ak。设s＝a1＋a2＋„＋ak，{[a1＋a2＋„＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1)＝{s/k＋[ka(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1)≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[ka(k＋1)－s]／k(k＋1)用引理 ＝(s／k)^k*a(k＋1)≥a1a2„a(k＋1)。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)] 即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）

均值不等式的应用

例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p 周长最小值为4√p 例三长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16