非线性方程求根的方法简介与例题及答案(四篇)

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非线性方程求根的方法简介与例题及答案篇一

2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义

高职高专类

高等数学

经典方法及典型例题归纳

—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程

2013年5月17日星期五

曲天尧

编写

一、求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

x41例1：求极限lim

x1x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。

(x1)(x1)(x21)lim(x1)(x21)6=4 【解】limx1x1x12．分子分母同除求极限

x3x2例2：求极限lim

x3x31【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。11x3x21x【解】lim limx3x31x313x3【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；

0nn1axan1xa0

(2)limnmm1xbxbb0amm1xnbnmnmn mn3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限lim(x3x2x21)

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】lim(x3x2x1)lim2(x23x21)(x23x21)x3x122x

lim2x3x122x0

例4：求极限limx01tanx1sinx 3x2 【解】limx01tanx1sinxtanxsinx limx03x3x1tanx1sinx1limlimx0tanxsinx1tanxsinx1lim 33x0x024xx1tanx1sinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 ．．．．．．．．．．．4．应用两个重要极限求极限

sinx111和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，两个重要极限是lim第一个x0xnx0xxn重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

x1x1例5：求极限lim

xx1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑1，最后凑指数部分。x2x11xx22122x12lim1lim11e【解】lim x1xx1xxx1x121x2a例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。

xxxxaxx5．用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

1x)~e1, 当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1cosx~12bx,1ax1~abx； 2x(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．xln(1x)

x01cosxxln(1x)xx【解】 limlim2.x01cosxx012x2sinxx例8：求极限lim

x0tan3x例7：求极限lim

21sinxxsinxxcosx112x【解】lim limlimlim322x0tan3xx0x0x06x3x3x6．用洛必达法则求极限

lncos2xln(1sin2x)例9：求极限lim 2x0x0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。02sin2xsin2x2lncos2xln(1sin2x)cos2x1sinx 【解】limlim2x0x0x2x【说明】limsin2x213 2x02xcos2x1sinx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解

例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dt.【解】 由于x0f(xt)dtxtu0xf(u)(du)f(u)du,于是

0xx00xlimx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dtxlimx0xf(t)dttf(t)dtxf(u)du0x

=limx00f(t)dtxf(x)xf(x)x=limx0x0x0f(t)dt

0f(u)duxf(x)xf(u)duxf(x)=limx00f(t)dtxxf(x)=x0f(u)duf(0)1.f(0)f(0)27．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

例11：极限lim[1ln(1x)]

x02x2ln[1ln(1x)]x2x【解】 lim[1ln(1x)]=limex0x0=e4

2ln[1ln(1x)]x0xlime2ln(1x)x0xlime2.【注】对于1型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式

limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)

因为

limf(x)g(x)elimg(x)ln(f(x))elimg(x)ln(1f(x)1)elim(f(x)1)g(x)

1例12：求极限lim3x0x2cosxx1.32cosxxln3【解1】 原式limx0ex32cosxln13 limx0x21（sinx）l（n2cox）sln32coxs

lim lim2x0x0x2x11sixn1

lim2x02coxsx6e2cosxxln3【解2】 原式limx0x32cosxln13 lim2x0xln（1

limx0cosx1）cosx113lim x03x26x28．利用taylor公式求极限

axax2,(a0).例13 求极限 lim2x0xx221xlnalna(x2)，2【解】 aexxlna

axx221xlnalna(x2);

2x

aax2x2ln2a(x2).5 axax2x2ln2a(x2)2limlna.

lim22x0x0xx例14 求极限limx0【解】 limx011(cotx).xx111sinxxcosx(cotx)lim x0xxxxsinxx3x23x(x)x[1(x2)]3!2!lim 3x0x113)x(x3)1lim2!3!3x0x3.(9．数列极限转化成函数极限求解

例15：极限limnsinn1 nn2【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

1【解】考虑辅助极限limxsinxxx2limex1x2xsin1xlimey011siny12yye

161所以，limnsinnnn2e

1610．n项和数列极限问题

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.111例16：极限lim22nn222n2n2n1 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。6 11limfnnn2fn1nff(x)dx 0n1111【解】原式＝lim222nn12n111nnn 10121 dxln22211x 1111例17：极限lim2nn22n2nn1【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim因而用两边夹法则求解；

11fnnn2fnn的形式，fn

(2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】lim1112nn22n2nn1 因为 nnn2n1n121n2nn1221nn2nn12

又

limnnn2limn1

＝１ 111所以 lim2nn22n2nn111．单调有界数列的极限问题

例18：设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)（ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n1xn1xn2（ⅱ）计算lim.nxn

【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.7 【详解】

（ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11.可推得 0xn1sinxn1,n1,2,，则数列xn有界.于是 xn1sinxnsinxx）（因当x0时，则有xn1xn，可见数列xn单1，xnxnn调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.设limxnl，在xn1sinxn两边令n，得 lsinl，解得l0，即limxn0.nn11x（ⅱ）因 limn1nxn122xnsinxnxn2，由（ⅰ）知该极限为1型，limnxn11sinx12xxsinxx21xlimsinxelimx0xx01limex0x3e

(使用了洛必达法则)

16x故 limn1nxn2xn1sinxnxn2lime6.nxn1

二、常见不定积分的求解方法的讨论

0.引言

不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

1sinx2xdxdxedx221ksinx（其中0k1）x；；；lnx等。dx这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。

1.不定积分的概念

定义：在某区间i上的函数的全体原函数记为

称它是函数

f(x)，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)f(x)dx，为积分符号，ff(x)在区间i内的不定积分，其中(x)称为被积函数，x称为积分变量。

若f(x)为f(x)的原函数，则：

f(x)dx=f(x)+c(c为积分常数)。

在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：

d(f(x)dx)和 dxf(x)dx

是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性质：

1.微分运算与积分运算时互逆的。

注：积分和微分连在一起运算时：

d——————>完全抵消。

d ——————>抵消后差一常数。

[f(x)g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx。2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：

kf(x)dx=kf(x)dx(k≠0)。

在这里，给出两个重要定理：

(1)导数为0的函数是常函数。

(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。

上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。

2.直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。

下面先给出基本求导公式：

1()'x(1)(kx)'k

(2)x(3)(5)

11(lnx)'

(4)(arctanx)'1x2 x11(arcsinx)'(x)'(6)logaxlna1x

(7)(9)(11)(ex)'ex

(8)(sinx)'cosx

(cosx)'sinx

(10)(tanx)'sec2x

(cotx)'csc2x。

根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：

10(1)xdxkdxkxc(k是常数)

(2)x11c(1)

(3)

1dxxlnxc

(4)1x2dxarctanxc

1(5)1x2xdxarcsinxc

(6)

axadxlnac

x(7)xdxec

(8)cosxdxsinxc

e2sinxdxcosxc

(10)secxdxtanxc

2cscxdxcotxc。(9)

(11)下面举例子加以说明：

2(3x4x1)dx 例2.1：

求解

原式=

=

23xdx4xdxdx

3x2dx4xdxdx

32xx3()4(c2)(xc3)c

1=

=32x2xxc

注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。

例2.2：

求xdx 2x12dx(x21)1dx=dx2解

原式= 2x1x1

=xarctanxc

注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体 11 讲解。

直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。

3.第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如

sinxcosxdx

2就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。

如果不定积分

作变量代换uf(x)dx用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为

f(x)g[(x)](x)，(x)，并注意到(x)dxd(x)，则可将关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有

f(x)dxg[(x)](x)dxg(u)du.如果g(u)du可以求出，不定积分f(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类

(x)u，最后一个等号表示回代换元法(凑微分法)。

注：上述公式中，第一个等号表示换元u(x).下面具体举例题加以讨论

10dx.(2x1)例3.1：求110(2x1)dx(2x1)解

原式=2110d(2x1)(2x1)

=2

1101u111duc(2x1)c 2x1u u u2x1

22221111对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。

1d(x).例3.2：求2x8x25解

原式111d(x)d(x)222x43(x4)9()1131x4d()23x4()13

1x4arctanc 33 dx例3.3：求1x211111()解

 21x(1x)(1x)21x1x11d(1x)d(1x)[]

21x21x1x

1[ln1xln1x]c 2

11xlnc 21x3

dx在这里做一个小结，当遇到形如：ax2bxc的不定积分，可分为以下中情况：

ax2bxc的：

①大于0时。可将原式化为(xx1)(xx2)，2a其中，x、x为xbxc0的两个解，则原不定积分为： 113 dx1d(xx1)d(xx2)(xx1)(xx2)(x2x1)[(xx1)(xx2)]

1xx1lnc

(x2x1)xx2

②等于0时。可利用完全平方公式，然后可化成(xk)2d(xk)。然后根据小于0时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求基本微分公式(2)便可求解。

③解。例3.4： 求secxdx

dxcosxdxdsinx1sin2x 2cosxcosx解

原式

dsinx(1sinx)(1sinx)

1dsinxdsinx[]

2(1sinx)(1sinx)

11sinxlnc 21sinx2

该题也可利用三角函数之间的关系求解：

xsecxtanxsecdx

原式secxtanx

1d(secxtanx)secxtanx

lnsecxtanxc.虽然两种解法的结果不同，但经验证均为secx的原函数，例3.5：求解法以及结果的不唯一性。

解

1cos2x1cosxdx2dx2(dxcos2xdx)2

11dxcos2xd(2x)24xsin2xc 24例3.6：求6secxdx.6解

22xdxsecsec(secx)xdx(1tan2x)d(tanx)

24(12tanxtanx)d(tanx)

2315tanxtanxtanxc

35注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算。

xdx.100例3.7：求(x1)x11dx解

原式(x1)100 22x11[]dx

99100

(x1)(x1)x121[]dx

99100

(x1)(x1)121[]d(x1)9898100(x1)(x1)(x1)15 1119798(x1)(x1)(x1)99c 974999注：这里也就是类似例2所说的方法，此处是“减1加1”法。

4.第二类换元法

如果不定积分替换f(x)dx用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量x(t)后，所得到的关于新积分变量t的不定积分

f[(t)](t)dt

可以求得，则可解决设函数f(x)dx的计算问题，这就是所谓的第二类换元(积分)法。

x(t)是单调、可导函数，且(t)0，又设f[(t)](t)具有原f(t)，则

f(x)dxf[(t)](t)dtf(t)cf[(x)]c，其中(x)是x(t)的反函数。

注：由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过程与第一类换元积分法的正好相反。例4.1：求不定积分

22axdx(a0).解

令2xasint，则dxacostdt，t(2,2)，所以

22a(1cos2t)dt 2221aa(tsin2t)c(tsintcots)c

222为将变量t还原回原来的积分变量x，由xasint作直角三角形，可知axdxacostacostdtcost22ax，代入上式，得 a

xxa22arcsinc axdxax2a22216

2a t 22ax x 注：对本题，若令xacost，同样可计算。

例4.2：求不定积分

1xa22dx(a0).2xatantdxatt(2,2)，所以 解

令，则sectd，12dxatdtsectdt sec22asectxa lnsecttantc1

22lnxxac

例4.3：求不定积分

122xadx(a0).解

令xasect，则dxasecttantdt，t(0,2)，所以

1asecttantdxdtsectdt 22atantxa

lnsecttantc1

22lnxc xa

注：以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：若果被积函数中含有函数中含有

22ax时，可令xasint，t(2,2)；如果被积22xa，可令xatant，t(2,2)；如果被积函数中含有22xa；可令xasect，t(0,2).dx例4.4：求不定积分xxeex

dtdx解

令te(t0)，则xlnt，所以，t。

dxexex

11tdtdt

211tttarctatnc

xarcta

例4.5：求不定积分

xdx23x2.解

1dx22223x23x2xdx(变形).222t222tdt 令t23x(t0)， 3311112223dt(tdt)xc 原式32t33关于第二类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的掌握这种方法。

5.分部积分法

前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如xxedx、xcosxdx等，利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法——分部积分法.设函数uu(x)和vv(x)具有连续导数，则d(uv)vduudv移项得到udvd(uv)vdu，所以有

udvuvvdu，或

uvdxuvuvd.上面两个式子称为分部积分公式.利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分

f(x)dx化成udv的形式，使它更容易计算.所采用的主要方法就是凑微分法，例如，xxxxxxexdxxxdxdxxc(x1)ceeeeee

利用分部积分法计算不定积分，选择好u,v非常关键，选择不当将会使积分的计算变得更加复杂。下面将通过例题介绍分部积分法的应用。

例5.1：求不定积分解

令

xcosxdx.ux，cosxdxdsinxdv，则

xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxc

有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法。

例5.2：求不定积分

2dvu解

令edx，则 x和

xxxd2xdxeedx.xe2x对后面的不定积分再用分部积分法，xxxxxdxc xdxeeee(运算熟练后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得

2xdx(2x2)2x注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幂函数为u，而将其余部分凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，幂函数的幂次降低一次(幂指相碰幂为u)。

例5.3：求不定积分

dn，解

令uarctax2,则

2xarctanxdx

xarctanxxd(arctanx)22211xarctanx(1)dx

2221x21xarctaxn(xarctax)nc

2注：若被积函数是幂指函数与对数函数或反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为u，而将幂函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消失(幂对角(反三角函数)，对角u).xsinxdx.e例5.4：求不定积分xsinxdxsinxde(取三角函数为u)ex解

exsinxexd(sinx)exsinxexcosxdx

exsinxcosxdex(再取三角函数为u)exsinx(excosxexdcosx)ex(sinxcosx)exsinxdx

x

解得

exesinxdx2(sinxcosx)c

注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积时，u,dv可随意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的u，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分 20(指正余，随意选).下面将分部积分法关于u,dv的选择总结成一个表，以便于更好学习，如下：

分类 i

ii

iii 不定积分类型 u和的选择

p(x)sinxdx

nupn(x),sinx

upn(x),cosx p(x)cosxdx

n

xp(x)edx n

upn(x),ex

p(x)lnxdx

nulnx,pn(x)uarcsinx,pn(x)p(x)arcsinxdx

np(x)arccosxdx

nuarccosx,pn(x)

uarctanx,pn(x)p(x)arctannxdx

xesinxdx xecosxdx

usinx,ex或uex,sinx ucosx,ex或uex,cosx

6.结论

上面所介绍的都是常见不定积分的求解方法，根据不同的题的特点采取上述不同的方法，好多题要经过适当变形后才能应用上述方法，有的题经过不同的变形，应用不同的方法，计算结果就会不同。因此，不定积分的计算灵活性很强，必须熟练掌握上述方法，而这就与做大量的练习是密不可分了，题做得多了，自己也就会积累更多的经验，这样解起题来才能得心应手，才能熟练自如的应用，而且，定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的各种问题也能迎刃而解。

曲天尧

2013年5月17日于济南

山东财经大学（燕山校区）

非线性方程求根的方法简介与例题及答案篇二

《

计

算

方

法

》

期 末 论 文

论文题目 非线性方程的数值解法

学 院 专 业 班 级

姓 名 学 号 指 导 教 师 日

期

目 录

摘要 第1 章 绪论

1.1 问题的提出和研究目的和意义 1.2 国内外相关研究综述 1.3 论文的结构与研究方法 第2 章 非线性方程的数值解法 2.1 二分法 2.2 迭代法

2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶 2.4 牛顿迭代法 2.5 牛顿法的改进 2.6 插值

摘要

数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。

在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。本文讨论了非线性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。

第1 章 绪论

可以证明插值多项式l(x)n 存在并唯一。拉格朗日插值多项式的算法step1.输入插值节点控制数n插值点序列 i i x , y i=0,1,…,n要计算的函数点x。 i =0,1,…,n i 制拉格朗日基函数序列问题的提出和研究目的和意义非线性方程的问题在工程实践中有很多用途研究其数值解法是当前一个研究方向。目前已有相当一部分算法在广泛使用于工程实践中。非线性方程组和无约束最优化的数值解法一直是数值优化领域中热门的研究课题。本文对传统的方法进行改进和提出新的算法该算法不仅有重要的论价值，而且有很高的实用价值。例如在天体力学中，有如下kepler开普勒方程x-t-sin x=0,0< <1,其中t 表示时间x 表示弧度，行星运动的轨道x 是t 的函数。也就是说，对每个时刻i t 上述方程有唯一解i x，运动轨道位置。

国内外相关研究综述随着科学技术的高速发展和计算机的广泛应用求解形如f(x)=0 的非线性方程组问题越来越多的被提出来了其中f 是的连续可微函数。例如非线性有限元问题、非线性断裂问题、弹塑性问题、电路问题、电子系统计算以及经济与非线性规划问题等都可转化为非线性方程组的求解问题。只要包含有未知函数及其导函数的非线性项的微分方程，无论是用差分方法或有限元方法，离散化后得到的方程组都是非线性方程组。与线性方程组相比,非线性方程组的求解问题无论在理论上还是在解法上都不如线性方程组成熟和有效.例如,非线性方程组是否有解,有多少解,理论上都没有很好的解法,而对于非线性方程组,除了形式极为特殊的小型方程组以外,直接解法几乎是不可能的.因而,我们主要考虑迭代解法.一般都是采用线性化的方法去构造各种形式的迭代系列.通常都要讨论以下几个基本问题:第一个问题是,迭代点列的适定性问题,即要求迭代点列是有意义的.例如对于牛顿法,jacobi 矩阵必须是非奇异的.第二个问题,也是最基本的问题,生成的迭代点列的收敛性以及极限点是否为方程组的解.最后一个问题是,迭代点列的收敛速度问题.早在七十年代以前, rheinboldt 系统的介绍了n 阶非线性方程组的基本理论成果,并对牛顿法,延拓法等几种主要迭代法作了详尽的分析.另外,也有一些学者把非线性方程组的求解问题转化为极小化问题, 得到一类称为极小化方法的迭代法, 如下降法, 共轭方向法,gauss-newton 法等,李,莫&祁详细介绍了一些适合在计算机上求解的有效算法,如broyden 算法,以及近十几年来发展的新方法,如区间迭代法,单调迭代法和单纯形法等.论文的结构与研究方法

1.欲解决的主要问题是：综合当前各类非线性方程的数值解法，通过比较分析，二分法，迭代法，牛顿——雷扶生方法，迭代法的收敛阶和加速收敛方法，解非线性方程的插值方法，这以上五种的算法应用对某个具体实际问题选择相应的数值解法。

2.比较各类数值算法分析其优缺点并应用到具体的实际问题中。3．利用计算机matlab 语言对非线性方程的数值解法进行程序设计。

研究的基本思路是结合目标所提出的问题针对各种方法来具体分析比较

(1)二分法 起始区间[a,b]必须满足f(a)与f(b)符号相反的条件。二分法的第一部是选择中点c=(a+b)/2，然后分析可能存在的三种情况如果f(a)和f(c)符号相反，则在区间[a,c]内存在零点。如果f(c)和f(b)符号相反则在区间[c,b]内存在零点。如果f(c)=0，则c是零点。（2）迭代法 迭代是指重复执行一个计算过程，直到找到答案。首先需要有一个用于逐项计算的规划或函数g(x)，并且有一个起始po。然后通过迭代规则k 1 p =g(k p)，可得到序列值{ k p }。(3)牛顿——雷扶生法 如果f(x)f ‘(x)和f “(x)在根p 附近连续则可将它作为f(x)的特性,用于开发产生收敛到根p 的序列{ k p }的算法。而且这种算法产生序列{ k p }的速度比二分法快。牛顿——雷扶生法依赖于f’(x)和f ”(x)的连续性,是这类方法中已知的最有用和最好的方法之一。

(4)迭代法的收敛阶和收敛方法、割线法只计算f(x)不计算f ’(x)而且在单根上的收敛阶r 1.618033989。割线法比牛顿法收敛速度慢一些顿法的收敛阶为2。当p 是一个m 阶根时要更好的求根技术以获得比线性收敛更快的速度。最终结果显示过对牛顿法进行改进使其在重根的情况下的收敛阶为2。加速收敛方法有 aitken 加速法和steffensen 加速法。steffensen 算法是促使迭代加速收敛的有效算法,但该算法每算一步,需两次迭代,其效率不够高。

(5)解非线性方程的插值方法 lagrange 插值公式需要进行提高插值多项式次数的插值计算是不方便的。这些方法它们各有优缺点 二分法的优点是对函数f(x)的性态要求不高,只需连续即可,且计算程序简单,能保证收敛。其缺点是收敛速度较慢只能求实函数的实零点重或奇数重零点。该方法一般用于确定方程根或函数实零点的粗略位置,为快速收敛的算法提供初值。newton 法的主要优点是收敛速度快,缺点是其收敛性是局部收敛,要求初始值0 x 选在精确解* x 附近才能保证收敛。割线法迭代一次仅需计算函数值f(k x)可保留作为下次迭代用,且避免了计算导数。

第2 章 非线性方程的数值解法

满足非线性方程f(x)=0 的解x ,称为方程的根或零点。一般用迭代法求非线性方程的根。通常,非线性方程的根不是唯一的,而任何一种方法一次只能算出一个根。因此,在求解非线性方程时,要给定初始条件或求解范围。根可为实数或复数,也称为实根或复根。二分法

二分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则f(x)在[a,b]上至少有一零点是微积分中的介值定理[1],也是使用二分法的前提条件。计算中通过对分区间缩小区间范围的步骤搜索零点的位置。

二分法是对逐步搜索法的一种改进。对于有根区间[ a, b ], 如果取x0=(a+ b)ˆ2,则0 x 将其分为两半;然后通过检查f(0 x)与f(a)是否同号来判断根的位置(见图1)。

如此反复二分, 即可得出一系列的有根区间;其中,每个区间都是前一个区间的一半。当k→∞时, 该区间的大小趋近于零, 其值便为所求方程f(x)= 0 的根。由此可见, 二分法算法简单, 在允许的误差范围内通过有限次的计算,总能求得方程在该有根区间的根。

二分法求根算法

计算f(x)=0 的一般计算步骤如下

step1入求根区间[a,b]和误差控制量ε义函数f(x)。iff(a)f(b)〈0 〉then 做step2 else 退出选用其他求根方法 step 2while |a-b|>ε

计算中点x=(a+b)/2 以及f(x)的值;分情况处理 | f(x)|〈 ε 止计算x =x,转向step4 f(a)f(x)<0正区间[a,x]->[a,b] f(x)f(b)<0: 修正区间[x,b]->[a,b] endwhile step 3: x =(a+b)/2。step 4:输出近似根x。

二分法的算法简单而f(x)在[a,b]上有几个零点时能算出其中一个零点一方面使f(x)在[a,b]上有零点.也未必有f(a)f(b)<0。这就限制了二分法的使用范围。二分法只能计算方程f(x)=0 的实根。迭代法

迭代法的局部收敛性及收敛的阶

一种迭代过程，只有具备了收敛性，才能表明其迭代的有效性，同时还需要考察其迭代过程的收敛速度[3]，即其在接近收敛的过程中迭代误差的下降速度。迭代计算过程不收敛，可能是因为迭代格式本身构造不成功，那么算法必须重新构造，也可能是初值选择不当这时往往可通过调整初值解决 牛顿迭代法

设r是f(x)= 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线l，l的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出l与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x)= f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2!+… 取其线性部分，作为非线性方程f(x)= 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0)这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示a，b两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是a>b，b>a交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是a始终在b的前面，a向前迈进，b跟上，a把自己的位置交给b（即执行b = a操作），然后a 再前进占领新的位置，b再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a, b)= gcd(b, a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0, b%d==0，而r = a-kb，因此r%d==0，因此d是(b, a mod b)的公约数

同理，假设d 是(b, a mod b)的公约数，则 b%d==0 , r%d==0，但是a = kb +r，因此d也是(a,b)的公约数。

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用c语言描述为：

int gcd_2(int a, int b)// 欧几里德算法求a, b的最大公约数

{

if(a<=0 || b<=0)//预防错误

return 0;

int temp;

while(b > 0)//b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值

{

temp = a % b;//迭代关系式

a = b;//是那个胆小鬼，始终跟在b的后面

b = temp;//向前冲锋占领新的位置

}

return a;

}

从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b;根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b;b = temp;直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。

还有一个很典型的例子是斐波那契(fibonacci)数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib(1)=0;fib(2)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)(当n>2时)。

在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。

int fib(int n)//斐波那契(fibonacci)数列

{

if(n < 1)//预防错误

return 0;

if(n == 1 || n == 2)//特殊值，无需迭代

return 1;

int f1 = 1, f2 = 1, fn;//迭代变量

int i;

for(i=3;i<=n;++i)//用i的值来限制迭代的次数

{

fn = f1 + f2;//迭代关系式

f1 = f2;//f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面

f2 = fn;

}

return fn;} 参考文献：

1.百度百科 2.豆丁网

非线性方程求根的方法简介与例题及答案篇三

非线性方程f(x)求根主要可以采用下面三种方法，下面简单介绍下，并附例题，让解法更一目了然。1)二分法简介：

计算步骤如下：

例题：

2)不动点迭代，也叫简单迭代。

隐式化为显式，迭代法是一种逐次逼近法；

其中f(x)才能满足上述迭代格式。继续迭代。

3)牛顿迭代法，实际上也叫切线法，是通过下面的方式推导出来的。

上述题目很简单，用牛顿法迭代就可以达到目的。我们先设f(x)xcosx 由公式得xxxcosxsinx

我们用二分法的原理，我们取x得x，xxcosxsinxxcosxsinxxcosxsinx

xxcossin.

xxcos.sin..

xx，并具有四位有效数字，所以只需迭代两次就可以达到题目所需的精度要求

非线性方程求根的方法简介与例题及答案篇四

上机作业总体要求：

1． 2． 开发语言可用任一种高级语言 作业包括

1)一份实验报告

2)电子版作业的全套（压缩后提交在webcc上），包括：  程序源代码；  可执行程序；  电子版实验报告（内容包括：

一、实验目的

二、模型建立

三、模型求解 3.1 开发环境

3.2 程序设计说明（要求设计为通用的）3.3 源代码 3.4 程序使用说明 3.5 模型的解

四、小结（可含个人心得体会））

第六章逐次逼近法

§ 3 非线性方程的迭代解法 上机实验题

求 x5-3x3+x-1= 0 在区间[-8,8〕上的全部实根.试分别用:

(1)二分法;(2)newton法;(3)弦截法(割线法);(4)newton下山法；求方程的根.准确到6位有效数字.要求:讨论求解的全过程,对所用算法的局部收敛性,优缺点等作分析及比较.以实验报告的形式提交.完成时间:5月18日