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湖南师大附中高二数学试题答案篇一
必考ⅱ部分(50分)
一、填空题
1．10【解析】设p(xp，yp)，∵|pm|＝|pf|＝yp＋1＝5，yp＝4，
则|xp|＝4，s△mpf＝2(1)|mp||xp|＝10.
二、选择题
2．b【解析】由选择支分析可考查函数y＝x(f（x）)的单调性，而f(x)0且f(x)0，则当x0时x(f（x）)＝x2(xf（x）－f（x）)0，
即函数x(f（x）)在(－，0)上单调递减，故选b.
三、解答题
3．【解析】(1)f(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分)
列表如下：
x < | (－，－1) < | －1 < | (－1，1) < | 1 < | (1，＋) < |
f(x) < | － < | 0 < | ＋ < | 0 < | － < |
f(x) < | 递减 < | 极小值 < | 递增 < | 极大值 < | 递减 < |
所以：f(x)的递减区间有：(－，－1)，(1，＋)，递增区间是(－1，1)；
f极小值(x)＝f(－1)＝－2，f极大值(x)＝f(1)＝2.(7分)w w w .x k b 1.c o m
(2)由(1)知，当0
此时fmax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)
当a1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，
即当x[0，a]时fmax(x)＝f(1)＝2(12分)
综上有h(a)＝2，a（1，＋）.(－a3＋3a，a（0，1]，)(13分)
4．【解析】 (1)设函数(x)＝xln x－x＋1，则(x)＝ln x(1分)
则(x)在(0，1)上递减，在(1，＋)上递增，(3分)
(x)有极小值(1)，也是函数(x)的最小值，则(1)＝1ln 1－1＋1＝0
故xln xx－1.(5分)
(2)f(x)＝ex－a(6分)
①a0时，f(x)0，f(x)是单调递增函数，又f(0)＝0，
所以此时函数有且仅有一个零点x＝0；(7分)
②当a0时，函数f(x)在(－，ln a)上递减，在(ln a，＋)上递增，
函数f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－1(8分)
ⅰ.当a＝1时，函数的极小值f(ln a)＝f(0)＝a－aln a－1＝0
则函数f(x)仅有一个零点x＝0；(10分)
ⅱ.当01或a1时，由(1)知极小值f(ln a)＝a－aln a－10，又f(0)＝0
当01时，ln p a0，易知x－时，ex0，－ax－1＋，
故此时f(x)＋，则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根；
当a1时，2ln a0，计算f(2ln a)＝a2－2aln a－1
考查函数g(x)＝x2－2xln x－1(x1) ，则g(x)＝2(x－1－ln x)，
再设h(x)＝x－1－ln x(x1)，h(x)＝1－x(1)＝x(x－1)0
故h(x)在(1，＋)递增，则h(x)h(1)＝1－1－ln 1＝0，
所以g(x)0，即g(x)在(1，＋)上递增，则g(x)g(1)＝12－21ln 1－1＝0
即f(2ln a)＝a2－2aln a－10，
则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的'正根．
故01或a1时函数f(x)都是恰有两个零点．
综上：当a(－，0]{1}时，函数f(x)恰有一个零点x＝0，
当a(0，1)(1，＋)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)
5．【解析】(1)当mnx轴时，mn的方程是x＝3(8)，
设m，y1(8)，n，－y1(8)w w w .x k b 1.c o m
由(om)(on)知|y1|＝3(8)，
即点3(8)在椭圆上，代入椭圆方程得b＝2.(3分)
(2)当lx轴时，由(1)知(oa)(ob)；
当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0
则1＋k2(|m|)＝3(8)?3m2＝8(1＋k2)(5分)
＝1(y2)?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0,
＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝3(32)(4k2＋1)0，
设a(x1，y1)，b(x2，y2)
则1＋2k2(2m2－8)，(7分)
x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
1＋2k2(（1＋k2）（2m2－8）)－1＋2k2(4k2m2)＋
＝1＋2k2(3m2－8（1＋k2）)＝0，即(oa)(ob).
即椭圆的内含圆x2＋y2＝3(8)的任意切线l交椭圆于点a、b时总有(oa)(ob).(9分)
(2)当lx轴时，易知|ab|＝23(8)＝3(6)(10分)
当l不与x轴垂直时，|ab|＝＝（1＋2k2）2(（4k2＋1）)
＝3(6)（1＋2k2）2(（1＋k2）（4k2＋1）)(12分)
设t＝1＋2k2[1，＋)，t(1)(0，1]
则|ab|＝3(6)2t2(2t2＋t－1)＝3(6)8(9)
所以当t(1)＝2(1)即k＝2(2)时|ab|取最大值2，
当t(1)＝1即k＝0时|ab|取最小值3(6)，
(或用导数求函数f(t)＝2t2(2t2＋t－1)，t[1，＋)的最大值与最小值)
综上|ab|3(6).(14分)
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