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《数理方程》考博大纲 科目代码:2003 基本内容与要求: 《数理方程》是理工科方向应用数学理论解决工程问题的基础,也是数学理论应用 的数学模型。要求考生比较系统地理解数学物理方程的基本概念和基本理论,掌握基本 方法。 考试的主要内容为偏微分方程基本概念、三类典型方程的导出、偏微分方程的定解 问题及其适定性研究、解的叠加原理等。同时要求考生了解偏微分方程研究的现代基本 理论(广义函数理论、Sobolev 空间理论等),理解和掌握其在椭圆、双曲、抛物型方 程研究中的应用,包括应用这些理论研究定解问题的古典解、弱解的适定性以及正则性 的方法。 主要内容 (一)、 偏微分方程的一般理论 1. 理解和掌握偏微分方程的基本概念、特征与分类; 2. 掌握 Fourier 变换及广义函数的概念和基本性质; 3. 理解和掌握偏微分方程古典解,广义解以及定解问题的适定性等概念; 4. 理解和掌握三类典型线性偏微分方程(波动方程、热传导方程、位势方程)的导 出。 (二)、波动方程 1. 理解和掌握一维波动方程的特征线法及初值问题解的 D’Alembert 公式,了解其 物理意义; 2. 理解和掌握三维波动方程的球平均法及初值问题解的 Kirchhoff 公式,了解其物 理意义; 3. 理解和掌握二维波动方程的初值问题和降维法及初值问题解的 Poisson 公式; 4. 掌握解的线性叠加原理及 Fourier 变换方法求解波方程初值问题; 5. 掌握波动方程初边值问题的分离变量法; 6. 理解和掌握依赖区域、决定区域、影响区域、特征维以及波的惠更斯(Huyge) 原理等概念。 (三)、热传导方程 1. 理解和掌握 Fourier 变换求解热传导方程及初值问题解的 Poisson 公式,理解热 传导方程基本解的概念; 2. 掌握一维热传导方程初边值问题的分离变量法; 3. 理解和掌握一维热传导方程的极值原理,能够应用极值原理来证明定解问题解的 唯一性和稳定性 4. 理解和掌握热传导方程的最大模估计和能量模估计(能量方法),以及用能量方 法讨论初边值问题解的唯一性和稳定性。 (四)、位势方程 1. 掌握 Poisson 方程边值问题的分类; 2. 掌握调和函数的基本性质,如中值公式、极值原理等; 3. 理解和掌握位势方程的极值原理,能够应用极值原理来证明定解问题解的唯一性 和稳定性; 4. 理解和掌握位势方程的最大模估计和能量模估计(能量方法),以及用能量方法 讨论初边值问题解的唯一性和稳定性。 5. 理解 Sobolev 空间的基本概念和性质,掌握变分问题的解的存在唯一性。 (五)、二阶偏微分方程的分类和总结 1. 理解和掌握二阶偏微分方程的分类(椭圆、抛物、双曲)及其基本性质; 2. 理解和掌握基于泛函分析、Sobolev 空间理论的能量方法,以及极值原理,在三 类方程中弱解的存在性、唯一性、正则性的应用。
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