人教a版高中数学必修二 电子版(5篇)

人的记忆力会随着岁月的流逝而衰退，写作可以弥补记忆的不足，将曾经的人生经历和感悟记录下来，也便于保存一份美好的回忆。写范文的时候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？下面是小编帮大家整理的优质范文，仅供参考，大家一起来看看吧。

人教a版高中数学必修二 电子版篇一

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:ab 或a。2.向量的模:向量的大小(或长度,记作:||ab 或||a。3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。

4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量:方向相同或相反的向量。6.相等向量:长度和方向都相同的向量。

7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。ab ba =-。8.三角形法则: ab bc ac +=;ab bc cd de ae +++=;ab ac cb-=(指向被减数 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b-。

10.共线定理://a b a b λ=⇔。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模:若(,a x y =,则2||a x y =+22||a a =,2||(a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ⋅=⋅;cos ||||a b a b θ⋅=⋅

14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=;121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=

题型1.基本概念判断正误:(1共线向量就是在同一条直线上的向量。

(2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。(3与已知向量共线的单位向量是唯一的。

(4四边形abcd 是平行四边形的条件是ab cd =。(5若ab cd =,则a、b、c、d 四点构成平行四边形。(6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。(7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。(8若ma mb =,则a b =。(9若ma na =,则m n =。

(10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量。(11若||||a b a b ⋅=⋅,则//a b。(12若||||a b a b +=-,则a b ⊥。题型2.向量的加减运算

1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b +=。2.化简((ab mb bo bc om ++++=。

3.已知||5oa =,||3ob =,则||ab 的最大值和最小值分别为、。4.已知ac ab ad 为与的和向量,且,ac a bd b ==,则ab = ,ad =。5.已知点c 在线段ab 上,且3

5ac ab =,则ac = bc ,ab = bc。题型3.向量的数乘运算

1.计算:(13(2(a b a b +-+=(22(2533(232a b c a b c +---+-= 2.已知(1,4,(3,8a b =-=-,则1 32a b-=。

题型4.作图法球向量的和

已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和3 22a b-。a b 题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在abc ∆中,d 是bc 的中点,请用向量ab ac ,表示ad。2.在平行四边形abcd 中,已知,ac a bd b ==,求ab ad 和。题型6.向量的坐标运算

1.已知(4,5ab =,(2,3a ,则点b 的坐标是。2.已知(3,5pq =--,(3,7p ,则点q 的坐标是。

3.若物体受三个力1(1,2f =,2(2,3f =-,3(1,4f =--,则合力的坐标为。4.已知(3,4a =-,(5,2b =,求a b +,a b-,32a b-。

5.已知(1,2,(3,2a b ,向量(2,32a x x y =+--与ab 相等,求,x y 的值。6.已知(2,3ab =,(,bc m n =,(1,4cd =-,则da =。

7.已知o 是坐标原点,(2,1,(4,8a b--,且30ab bc +=,求oc 的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底: a.1212e e e e +-和 b.1221326e e e e--和4 c.122133e e e e +-和 d.221e e e-和

2.已知(3,4a =,能与a 构成基底的是(a.34(,55 b.43(,55 c.34(,55--d.4(1,3--题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知o 是坐标原点,点a 在第二象限,||2oa =,150xoa ∠=,求oa 的坐标。2.已知o 是原点,点a 在第一象限,||43oa =60xoa ∠=,求oa 的坐标。题型9.求数量积

1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求(1a b ⋅,(2(a a b ⋅+,(31(2 a b b-⋅,(4(2(3a b a b-⋅+。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(2a b ⋅,(3(2a a b ⋅+,(4(2(3a b a b-⋅+。题型10.求向量的夹角

1.已知||8,||3a b ==,12a b ⋅=,求a 与b 的夹角。

2.已知(3,1,(23,2a b ==-,求a 与b 的夹角。3.已知(1,0a ,(0,1b ,(2,5c ,求cos bac ∠。题型11.求向量的模

1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求(1||a b +,(2|23|a b-。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(5||a b +,(61 ||2a b-。

3.已知||1||2a b ==，|32|3a b-=,求|3|a b +。题型12.求单位向量 【与a平行的单位向量:||a e a =±】

1.与(12,5a =平行的单位向量是。2.与1(1,2m =-平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直 1.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1//a b ?(2a b ⊥? 2.已知(1,2a =,(3,2b =-,(1k 为何值时,向量ka b +与3a b-垂直?(2k 为何值时,向量ka b +与3a b-平行? 3.已知a 是非零向量,a b a c ⋅=⋅,且b c ≠,求证:(a b c ⊥-。题型14.三点共线问题

1.已知(0,2a-,(2,2b ,(3,4c ,求证:，a b c 三点共线。

2.设2(5,28,3(2ab a b bc a b cd a b =+=-+=-,求证:a b d、、三点共线。

3.已知2,56,72ab a b bc a b cd a b =+=-+=-,则一定共线的三点是。4.已知(1,3a-,(8,1b-,若点(21,2c a a-+在直线ab 上,求a 的值。

5.已知四个点的坐标(0,0o ,(3,4a ,(1,2b-,(1,1c ,是否存在常数t ,使o a t o b o c +=成立? 题型15.判断多边形的形状

1.若3ab e =,5cd e =-,且||||ad bc =,则四边形的形状是。2.已知(1,0a ,(4,3b ,(2,4c ,(0,2d ,证明四边形abcd 是梯形。3.已知(2,1a-,(6,3b-,(0,5c ,求证:abc ∆是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内,(1,8,(4,1,(1,3oa ob oc =-=-=,求证:abc ∆是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用

1.已知(1,0a =,(2,1b =,当k 为何值时,向量ka b-与3a b +平行? 2.已知(3,5a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标。3.已知a b 与同向,(1,2b =,则10a b ⋅=,求a 的坐标。3.已知(1,2a =,(3,1b =,(5,4c =,则c = a + b。

4.已知(5,10a =,(3,4b =--,(5,0c =,请将用向量,a b 表示向量c。5.已知(,3a m =,(2,1b =-,(1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围;(2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围。6.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1a 与b 的夹角为钝角?(2a 与b 的夹角为锐角?

7.已知梯形abcd 的顶点坐标分别为(1,2a-,(3,4b ,(2,1d ,且//ab dc ,2ab cd =,求点c 的坐标。

8.已知平行四边形 abcd 的三个顶点的坐标分别为 a(2,1，b(1,3，c(3, 4，求第四个顶点 d 的坐标。9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30 角，求 水流速度与船的实际速度。10.已知 abc 三个顶点的坐标分别为 a(3, 4，b(0, 0，c(c, 0，（1）若 ab  ac  0，求 c 的值；（2）若 c  5，求 sin a 的值。【备用】 1.已知 | a | 3,| b | 4,| a  b | 5，求 | a  b | 和向量 a, b 的夹角。2.已知 x  a  b，y  2a  b，且 | a || b | 1，a  b，求 x, y 的夹角的余弦。1.已知 a (1,3, b (2, 1，则(3a  2b (2a  5b 。4.已知两向量 a (3, 4, b (2, 1，求当 a  xb与a  b 垂直时的 x 的值。5.已知两向量 a (1,3, b (2, ，a与b 的夹角  为锐角，求  的范围。变式：若 a (, 2, b (3,5，a与b 的夹角  为钝角，求  的取值范围。选择、填空题的特殊方法： 1.代入验证法 例：已知向量 a (1,1, b (1, 1, c (1, ，则2 c （1 3 a. a  b 2 2 1 3 b. a  b 2 2 3 1 c.a  b 2 2 3 1 d. a  b 2 2）变式：已知 a (1, 2, b (1,3, c (1, 2，请用 a, b 表示 c。2.排除法 例：已知 m 是 abc 的重心，则下列向量与 ab 共线的是（  mb  bc b.3 am  ac  bc  ac）  bm  cm 6

广东省近八年高考试题-平面向量（理科）1.(2007年高考广东卷第10小题 若向量 a、b 满足| a |=| b |=1，a 与 b 的夹角为 120，则 a a  a b  2.(2008 年高考广东卷第 3 小题 3.已知平面向量 a =（1，2），b =（－2，m），且 a ∥b，则 2 a + 3 b =（a.（－5，－10）b.（－4，－8）4.(2009 年高考广东卷第 3 小题（x,1），b= 已知平面向量 a=，则向量 a  b =（（－x, x 2）．）c.（－3，－6）d.（－2，－4））a平行于 x 轴 c.平行于 y 轴 b.平行于第一、三象限的角平分线 d.平行于第二、四象限的角平分线       c =(3,x满足条件(8 a － b · c =30，b= 5.(2010 年高考广东卷第 5 小题若向量 a =（1,1），（2,5），则x=(a．6 b．5 c．4 d．3 6.(2011 年高考广东卷第 3 小题已知向量 a (1, 2, b

(1,0, c (3, 4 ．若  为实数,(a  b / / c, 则 (b.1 2 a． 1 4 c.1 d.2 7.(2012 年高考广东卷第 3 小题 8．若向量 ba (2,3，ca (4,7，则 bc （a．(2, 4 b．(3, 4 c．(6,10）d．(6, 10 9.(2012 年高考广东卷第 8 小题对任意两个非零的平面向量  , ，定义

    ．若平面

    n 向量 a, b 满足 a  b  0，a 与 b 的夹角    0, ，且

 和

 都在集合 | n  z 中，则

 4 2  b a a． 1 2 b． 1 c． 3 2 d． 5 2 7 10.（2014 广东省高考数学理科 12）已知向量 a  1,0, 1则下列向量中 , 与 a 成 60  夹角的是 a．（-1,1,0）b.（1,-1,0）c.（0,-1,1）d.（-1,0,1）8

人教a版高中数学必修二 电子版篇二

必修二第三章《直线与方程》测试题

一、单选题

1．若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行，则m的值为（）

a．7

b．0或7

c．0

d．4

2．已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（）

a．

b．

c．

d．

3．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数

a．1

b．

c．或1

d．2或1

4．已知直线，则它们的图象可能为（）

a．

b．

c．

d．

5．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（）

a．

b．

c．

d．

6．当点到直线的距离最大时，m的值为（）

a．3

b．0

c．

d．1

7．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）

a．4

b．

c．

d．

8．一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是（）

a．

b．

c．

d．

9．若三条直线，与直线交于一点，则（）

a．-2

b．2

c．

d．

10．如图，已知a(4,0)、b(0,4)，从点p(2，0)射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上，最后经直线ob反射后又回到p点，则光线所经过的路程是

()

a．

b．

c．6

d．

11．直线过点，且、到的距离相等，则直线的方程是（）

a．

b．

c．或

d．或

12．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为（）

a．

b．

c．

d．

二、填空题

13．若a(-2,3),b(3,-2),c(4,m)三点共线则m的值为________.14．设直线的倾斜角是直线的倾斜角的，且与轴的交点到轴的距离是3，则直线的方程是____________.15．在平面直角坐标系xoy中，设定点a(a，a)，p是函数y＝

(x>0)图象上一动点．若点p，a之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．

16．过点作直线，若直线经过点，且，则可作直线的条数为__________.三、解答题

17．已知直线，.(1)若，求的值；

(2)若，求的值.18．过点的直线，（1）当在两个坐标轴上的截距的绝对值相等时，求直线的方程；

（2）若与坐标轴交于、两点，原点到的距离为时，求直线的方程以及的面积.19．如图，已知三角形的顶点为a(2,4)，b(0，－2)，c(－2,3)，求：

(1)直线ab的方程；

(2)ab边上的高所在直线的方程；

(3)ab的中位线所在的直线方程．

20．已知一组动直线方程为.(1)

求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标;

(2)

若直线与轴正半轴，轴正半分别交于点两点，求面积的最小值.21．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为．

（1）求点和点的坐标；

（2）求边上的高所在的直线的方程．

22．已知直线经过点，斜率为

（ⅰ）若的纵截距是横截距的两倍，求直线的方程；

（ⅱ）若，一条光线从点出发，遇到直线反射，反射光线遇到轴再次反射回点，求光线所经过的路程。

人教a版高中数学必修二 电子版篇三

必修二第三章《直线与方程》测试题

一、单选题

1．若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行，则m的值为（）

a．7

b．0或7

c．0

d．4

2．已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（）

a．

b．

c．

d．

3．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数

a．1

b．

c．或1

d．2或1

4．已知直线，则它们的图象可能为（）

a．

b．

c．

d．

5．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（）

a．

b．

c．

d．

6．当点到直线的距离最大时，m的值为（）

a．3

b．0

c．

d．1

7．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）

a．4

b．

c．

d．

8．一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是（）

a．

b．

c．

d．

9．若三条直线，与直线交于一点，则（）

a．-2

b．2

c．

d．

10．如图，已知a(4,0)、b(0,4)，从点p(2，0)射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上，最后经直线ob反射后又回到p点，则光线所经过的路程是

()

a．

b．

c．6

d．

11．直线过点，且、到的距离相等，则直线的方程是（）

a．

b．

c．或

d．或

12．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为（）

a．

b．

c．

d．

二、填空题

13．若a(-2,3),b(3,-2),c(4,m)三点共线则m的值为________.14．设直线的倾斜角是直线的倾斜角的，且与轴的交点到轴的距离是3，则直线的方程是____________.15．在平面直角坐标系xoy中，设定点a(a，a)，p是函数y＝

(x>0)图象上一动点．若点p，a之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．

16．过点作直线，若直线经过点，且，则可作直线的条数为__________.三、解答题

17．已知直线，.(1)若，求的值；

(2)若，求的值.18．过点的直线，（1）当在两个坐标轴上的截距的绝对值相等时，求直线的方程；

（2）若与坐标轴交于、两点，原点到的距离为时，求直线的方程以及的面积.19．如图，已知三角形的顶点为a(2,4)，b(0，－2)，c(－2,3)，求：

(1)直线ab的方程；

(2)ab边上的高所在直线的方程；

(3)ab的中位线所在的直线方程．

20．已知一组动直线方程为.(1)

求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标;

(2)

若直线与轴正半轴，轴正半分别交于点两点，求面积的最小值.21．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为．

（1）求点和点的坐标；

（2）求边上的高所在的直线的方程．

22．已知直线经过点，斜率为

（ⅰ）若的纵截距是横截距的两倍，求直线的方程；

（ⅱ）若，一条光线从点出发，遇到直线反射，反射光线遇到轴再次反射回点，求光线所经过的路程。

参考答案

1．b

2．a

3．d

4．c

5．c

6．c

7．d

8．b

9．c

10．d

11．c

12．a

13．-3

14．或者，15．－1或

16．4

17．解：（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，可得

1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．

（2）由题意可知m不等于0,由l1∥l2

可得，解得

m＝﹣1．

18．解：(1),和；

（2）依题，直线斜率存在，设其为，设方程为，即，原点到的距离，则，所以直线的方程为；的面积

19．解：(1)由已知直线ab的斜率＝＝3，∴直线ab的方程为y＝3x－2，即3x－y－2＝0.(2)设ab边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m，由直线过点c(－2,3)，∴3＝＋m，解得m＝，故所求直线为y＝－x＋，即x＋3y－7＝0.(3)ab边的中位线与ab平行且过ac中点(0，)，∴ab的中位线所在的直线方程为y＝3x＋，即6x－2y＋7＝0.20．解：（1）直线方程，整理可得：恒成立，由此，解得，由此直线恒过定点（4,1）．

（2）直线分别交x轴的正半轴，轴正半分别交于点两点，设直线方程为其中．令，;

令，所以，当时取等号，．

21．解：（1）由已知点应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，由得，故．

由，所以所在直线方程为，所在直线的方程为，由，得．

（2）由（1）知，所在直线方程，所以所在的直线方程为，即．

22．解：（ⅰ）由题意得。

直线的方程为，令，得

令，得

∵的纵截距是横截距的两倍

解得或

∴直线或，即或

（ⅱ）当时，直线，设点关于的对称点为，则，解得，关于轴的对称点为

光线所经过的路程为

人教a版高中数学必修二 电子版篇四

第二章

平面向量复习课

（一）一、教学目标

1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）： 6.向量的坐标概念和坐标表示法

7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8.数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

三、教学过程

（一）重点知识：

1.实数与向量的积的运算律：

(1)(a)()a(2)()a aa(3)(ab)ab

2.平面向量数量积的运算律:

(1)abba

(2)(a)b(ab)a(b)

(3)(ab)c acbc

3.向量运算及平行与垂直的判定: 设a(x1,y1),b(x2,y2),(b0).则ab(x1x2,y1y2)

ab(x1x2,y1y2)

abx1x2y1y2

a//bx1y2x2y10.abx1x2y1y20.4.两点间的距离:

|ab|(x1x2)2(y1y2)2

5.夹角公式: cosab a bx1x2y1y2 x1y1x2y22222

6.求模：

aaa

ax2ya(x1x2)2(y1y2)2

（二）习题讲解：第二章 复习参考题

（三）典型例题

例1． 已知o为△abc内部一点，∠aob=150°，∠boc=90°，设oa=a，ob=b，oc=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则b（0，1），c（-3，0），设a（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即a（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基础练习：

（五）、小结：掌握向量的相关知识。

（六）、作业：

第二章

平面向量复习课

（二）一、教学过程

（一）习题讲解：

（二）典型例题

例1．已知圆c：(x3)(y3)4及点a（1，1），m是圆上任意一点，点n在线

22段ma的延长线上，且ma2an，求点n的轨迹方程。

练习：1.已知o为坐标原点，oa=（2，1），ob=（1，7），oc=（5，1），od=xoa,y=db·dc（x，y∈r）

求点p（x，y）的轨迹方程；

2.已知常数a>0，向量m(0,a),n(1,0)，经过定点a（0，－a）以mn为方向向量的直线与经过定点b（0，a）以n2m为方向向量的直线相交于点p，其中r.求点p的轨迹c的方程；

例2.设平面内的向量oa(1,7), ob(5,1), om(2,1)，点p是直线om上的一个动点，求当papb取最小值时，op的坐标及apb的余弦值．

解

设op(x,y)．∵

点p在直线om上，∴ op与om共线，而om(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有op(2y,y)．∵ paoaop(12y,7y)，pbobop(52y,1y)，∴ papb(12y)(52y)(7y)(1y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

从而，当且仅当y=2，x=4时，papb取得最小值－8，此时op(4,2)，pa(3,5)，pb(1,1)．

于是|pa|34，|pb|2，papb(3)15(1)8，∴ cosapbpapb|pa||pb|8342417 17小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业：

人教a版高中数学必修二 电子版篇五

平面

【学习目标】

1.利用生活中的实物对平面进行描述；理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法． 2.重点掌握平面的基本性质．

3.能利用平面的性质解决有关问题． 【要点梳理】

要点

一、平面的基本概念 1.平面的概念：

“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．

要点诠释：

(1)“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；(2)“平面”无厚薄之分；

(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． 2.平面的画法：

通常画平行四边形表示平面． 要点诠释：

(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成45，横边长是其邻边的两倍；

(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；

3.平面的表示法：

(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；

(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面abcd；

(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面ac或者平面bd； 4.点、直线、平面的位置关系：

(1)点a在直线a上，记作aa；点a在直线a外，记作aa；(2)点a在平面上，记作a；点a在平面外，记作a；(3)直线l在平面内，记作l；直线l不在平面内，记作l． 要点

二、平面的基本性质

平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.1.公理1：

(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；(2)符号语言表述：al，bl，a，bl；(3)图形语言表述：

要点诠释：

公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．

2.公理2：

(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

(2)符号语言表述：a、b、c三点不共线有且只有一个平面，使得a，b，c；(3)图形语言表述：

要点诠释：

公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．

“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．

(4)公理2的推论：

①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②过两条相交直线，有且只有一个平面； ③过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)作用：确定一个平面的依据.3.公理3：

(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

(2)符号语言表述：p(3)图形语言表述： l且pl；

要点诠释：

公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.要点

三、点线共面的证明

所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．

1．证明点线共面的主要依据：

（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．

2．证明点线共面的常用方法：

（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面a、β重合；（3）反证法．

3．具体操作方法：

（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；

（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．

要点

四、证明三点共线问题

所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．

1．证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．

对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．

2．证明三点共线的常用方法

方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．

方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上． 要点

五、证明三线共点问题

所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．

1．证明三线共点的依据是公理3．

2．证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

【经典例题】

类型

一、平面的概念及其表示

例1．平面内的直线a、b相交于点p，用符号语寄语言概述为“abp，且p∈ ”，是否正确？

【答案】不正确 【解析】不正确．应表示为：a，b，且a∩b=p．

相交于点p的直线a、b都在平面内，也可以说，平面经过相交于点p的直线a、b．题中的符号语言只描述了直线a、b交于点p，点p在平面内，而没有描述直线a、b也都在平面内，下图也是题中的符号语言所表示的情形．

【总结升华】用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏．

立体几何中的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）组成立体几何语言，我们必须准确地把握它们．其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出来．图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精练、简洁．三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利于对思维广阔性的培养．

举一反三：

【变式1】根据下列符号表示的语句，说明点、线面之间的位置关系，并画出相应的图形：（1）a∈，b；（2）l，ma，al；（3）p∈l，p，q∈l，q∈． 【解析】（1）点a在平面内，点b不在平面内；

（2）直线l在平面内，直线m与平面相交于点a，且点a不在直线l上；

（3）直线l经过平面外一点p和平面内一点q．

图形分别如图（1）、（2）、（3）所示．

类型

二、平面的确定

例2．判断下列说法是否正确，并说明理由：

（1）一点和一条直线确定一个平面；

（2）经过一点的两条直线确定一个平面：

（3）两两相交的三条直线确定一个平面；

（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内． 【答案】不正确

正确

不正确

不正确

【解析】（1）不正确．如果点在直线上，可以确定无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有且只有一个平面，或直接由公理2的推论1知，有且只有一个平面．

（2）正确．经过同一点的两条直线是相交直线，由公理2的推论2知，有且只有一个平面．

（3）不正确．3条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如下图（1）、（2）所示．前者，由公理2的推论2知．可以确定1个或3个平面；后者，由公理2的推论2及公理1知，能确定一个平面．

（4）不正确．四边形中三点可确定一个平面，而第4点不一定在此平面内，如上图（3），因此这4条线段不一定在同一平面内．

【总结升华】公理2及其3个推论都是确定平面的依据，对涉及这方面的应用问题，务必分清它们的条件．立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系问题，要有一定的空间想象能力．对于问题中的点、线，要注意它们各种不同的位置关系，以及由此产生的不同结果．

举一反三：

【变式1】空间中可以确定一个平面的条件是（）a．两条直线

b．一点和一直线 c．一个三角形

d．三个点

【答案】c 例3．在空间内，可以确定一个平面的是（）

a．两两相交的三条直线

b．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交

c．三个点

d．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点

【答案】d

【解析】a中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除a；

b中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除b；

对于c来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，因此排除c；

只有选项d中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理2知其确定一个平面．所以应选d．

【总结升华】要准确理解“确定”的含义，即为“有且只有”，其包含存在性和唯一性两个方面．解题时结合空间几何体来考虑会更直观、快速． 类型

三、平面的基本性质的应用

例4．已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线． 求证：直线a、b、c、d共面． 【解析】（1）无三线共点的情况．如右图所示，设a∩d=m，b∩d=n，c∩d=p，a∩b=q，a∩c=r，b∩c=s． ∵a∩d=m，∴a，d可确定一个平面，∵n∈d，q∈a，∴n∈，q∈，∴nq，即b． 同理c．

∴直线a、b、c、d共面．

（2）有三线共点的情况．如右图所示，设b、c、d三线相交于点k，与a分别交于n、p、m，且ka．

∵ka，∴a和a可确定一个平面，设为． ∵n∈a，a，∴n∈，又k∈，∴nk，即b．

同理c，d，∴直线a、b、c、d共面．

由（1）（2）知直线a、b、c、d共面．

【总结升华】（1）要证明点线共面，一般是依据公理2及其推论，在这些点、线中取出能确定一个平面的相关元素，再证明其他的点、线也在这个平面内，也就是“纳入法”（或“拉人下水法”），即先确定一个平面，然后将其他元素纳入到这个平面之中．

（2）在证明点、线共面时，除了上述纳入法外，也可以用下面方法来证明：①利用公理2及其推论直接证明；②重合法：先说明一些元素在一个平面内，其余元素在另一个平面内，再证明两个平面重合．

（3）在证明“线共点”时，一般是依题意，选择其中相交的两条直线，再证明其交点在第三条直线上，在选择时，应注意使第三条直线为其他图形中的某两个平面的交线．从而转化为证明其交点分别在这两个平面内即可．

举一反三：

【变式1】

如右图，已知直线m与直线a、直线b分别交于a、b且a∥b． 求证：过a、b、m有且只有一个平面．

证明：∵a∥b，∴过a、b有一个平面．

又m∩a=a，m∩b=b，∴a∈a，b∈b，∴a∈，b∈．

又a∈m，b∈m，∴m，即过a、b、m有一个平面．

假设过a、b、m还有一个平面异于，则a，b，a，b．

这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．

因此，过a、b、m有且只有一个平面．

例5．如图所示，四边形abcd中，已知ab∥cd，ab，bc，dc，ad(或延长线)分别与平面α相交于e，f，g，h，求证：e，f，g，h必在同一直线上．

【证明】因为ab∥cd，所以ab，cd确定平面ac，ad∩α＝h，因为h∈平面ac，h∈α，由公理3可知，h必在平面ac与平面α的交线上． 同理f、g、e都在平面ac与平面α的交线上，因此e，f，g，h必在同一直线上．

【总结升华】所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上．

（1）证明三点共线的依据是公理3，对于这个公理应进一步理解为下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．

（2）证明三点共线的常用方法：

方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．

方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上．

类似地有：（1）证明三线共点的依据是公理3．

（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题．

举一反三：

【变式1】已知e,f,g,h分别是空间四边形各边ab，ad，bc，cd上的点，且直线ef与gh交于点p．求证：b，d，p在同一直线上． 【解析】pefpefp平面abdgh

pghp平面bcdp平面abd平面bcdbdpbd

例6.如下图，在三棱锥s-abc的边sa、sc、ab、bc上分别取点e、f、g、h，若ef∩gh=p，求证：ef、gh、ac三条直线交于一点．

证明：∵e∈sa，sa平面sac，f∈sc，sc平面sac，∴ef平面sac．

∵g∈ab，ab平面abc，h∈bc，bc平面abc，∴gh平面abc，又∵ef∩gh=p，∴p∈平面sac，p∈平面abc． ∵平面sac∩平面abc=ac，∴p∈ac．

即直线ef、gh、ac共点于p．

【总结升华】线共点的证明可利用公理

1、公理3作为推理的依据．

举一反三：

【变式1】

如右图，已知空间四边形abcd（即四个点不在同一平面内的四边形）中，e、h分别是边ab、ad的中点，f、g分别是边bc、cd上的点，且

求证：直线ef、gh、ac相交于一点．

证明：∵e、h分别是边ab、ad的中点，∴eh∥bd且ehcfcg2． cbcd31bd． 2cfcg2，cbcd

3∵f、g分别是边bc、cd上的点，且∴fg∥bd且fg2bd． 3故知eh∥fg且eh≠fg，即四边形efgh为梯形，从而ef与gh必相交，设交点为p．

∵p∈ef，ef平面abc，∴p∈平面abc．

同理p∈平面adc．

∵平面adc∩平面abc=ac，∴p∈ac．

即ef、gh、ac交于一点p．

例7．如图，有一个正方体的木块，e为棱aa1的中点．现因实际需要，需要将其沿平面d1ec将木块锯开．请你画出前面abb1a1与截面d1ec的交线，并说明理由．

【证明】取ab中点f，连接ef，则ef即为所求的面abb1a1与截面d1ec的交线．

理由如下：

连接a1b，∵e为棱aa1的中点，f是ab中点，∴ef∥a1b，又∵a1b∥d1c，∴ef∥d1c，∴直线ef与直线d1c确定一个平面α，∵直线d1c与直线外一点e都在平面α内，∴平面α与平面d1ec重合，∴ef即为所求的面abb1a1与截面d1ec的交线．

【总结升华】本题考查平面与截面交线的画法，解题时认真审题，注意空间思维能力的培养． 举一反三：

【变式1】 已知正方体abcd=a1b1c1d1中，m、n、p分别是棱ab、a1d1、bb1的中点，试作出过m、n、p三点的截面．

作法：（1）设m、n、p三点确定的平面为，则平面 与平面aa1b1b的交线为直线mp，设mp∩a1b1=r，则rn是平面与平面a1b1c1d1的交线，设rn∩b1c1=q，连接pq，则pq是平面与平面bb1c1c的交线（如右图）．

（2）设mp∩a1a=f，则fn是平面与平面a1d1da的交线，设fn∩ad=h，连接hm，则hm是平面与平面abcd的交线．

由（1）（2）知平面pmhnq就是过m、n、p三点的截面（如右图中阴影部分）．