直线与圆锥曲线位置关系判断(4篇)

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直线与圆锥曲线位置关系判断篇一

一、选择题

1．过点p(0,2)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有()．

a．0条b．1条c．2条d．3条

xy2．已知点f1，f2－1(a>0，b>0)的左、右焦点，过f1且垂直于x轴的ab直线与双曲线交于a，b两点，若△abf2为正三角形，则该双曲线的离心率是()．

a．2b.c．3d.3

3．(2010·辽宁)设抛物线y＝8x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pa⊥l，a为垂足．如果直线af的斜率为－，那么|pf|＝()．

a．4 b．8c．8 d．16

14．已知抛物线c的方程为x2，过点a(0，－1)和点b(t,3)的直线与抛物线c没有公共点，2

则实数t的取值范围是()．

a．(－∞，－1)∪(1，＋∞)b.－∞，－2222 ∪，＋∞22c．(－∞，－2∪(2，＋∞)d．(2)∪(，＋∞)

5．(2011·杭州模拟)过点m(－2,0)的直线l与椭圆x＋2y＝2交于p1，p2，线段p1p2的中点为p.设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线op的斜率为k2，则k1k2等于()．

11a．－ b．－2c.d．2 22

二、填空题

6．已知以原点为顶点的抛物线c，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线c交于a，b的两点．若p(2,2)为ab 中点，则抛物线c的方程为________．

x227．(2011·中山模拟)设f1，f2为椭圆y＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆4

→→

交于p，q两点，当四边形pf1qf2面积最大时，pf1·pf2的值等于________．

8．(2011·浙江金华十校模拟)斜率为的直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与该抛物线交于a，b的两点，则|ab|＝________.三、解答题

9．在直角坐标系xoy上取两个定点a1(－2,0)，a2(2,0)，再取两个动点n1(0，m)，n2(0，n)，且mn＝3.求直线a1n1与a2n2交点的轨迹m的方程；

直线与圆锥曲线位置关系判断篇二

直线与圆锥曲线的位置关系

（一）教学目标

1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．

2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．

3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力． 重点难点：

重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用)。2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)教学过程：(一)问题提出

1．点p(x0，y0)和圆锥曲线c：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？

引导学生回答，点p与圆锥曲线c的位置关系有：点p在曲线c上、点p在曲线c内部(含焦点区域)、点p在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一． 2．直线l：ax+by+c=0和圆锥曲线c：f(x，y)=0有哪几种位置关系？

引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线c的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课

1．点m(x0，y0)与圆锥曲线c：f(x，y)=0的位置关系 的焦点为f1、f2，y=2px(p＞0)的焦点为f，一定点为p(x0，y0)，m点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)

2上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明． 2．直线l∶ax＋bx＋c=0与圆锥曲线c∶f(x，y)＝0的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 3．应用

求m的取值范围．

解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．

又

∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．

解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．

另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点． ∴ 直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．

故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．

称，求m的取值范围．

解法一：利用判别式法．

并整理得：

∵直线l′与椭圆c相交于两点，解法二：利用内点法．

设两对称点为p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，p1p2的中点为m(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)

小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．

练习1：(1)直线过点a(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点p(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？

由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．

练习2：求曲线c∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线c′的方程．

由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线c上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．

又(x′，y′)为曲线c上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线c的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结：本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．(四)布置作业 的值．

2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？

3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围． 作业答案：1．由弦长公式易求得：k=-4

当4-k2=0，k=±2，y=±2x为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)；(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点；(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点；(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切。故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交。当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离。

直线与圆锥曲线的位置关系

（二）教学目标

1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．

2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．

3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力． 重点难点：

重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)教学过程

（一）基本方法：

1.直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况的讨论来研究。即方程消元后得到一个一元二次方程，利用判别式⊿来讨论(注⊿≠0时，未必只有二个交点)。

2.直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合、以形助数的方法来解并决。

3.如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦ab两端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则弦长公式为：

（二）基本方法举例

例1.当k为何值时，直线y=kx+k-2 与抛物线 y =4x有两个公共点? 仅有一个公共点? 无公共点。解：由⊿=-16(k-2k-1)1).当⊿>0时，即12k12且k≠0时有两个公共点。2).当⊿=0时，即k13).当 k12或k1得k x +2(k-2k-2)x+(k-2)=0

2或k=0 时，直线与抛物线有一个公共点。2时，直线与抛物线无公共点。

点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.y2例2.已知：a(-3,4),b(4,4)若线段ab与椭圆xa2没有公共点。求正数a的取值范围。

22解：线段ab的方程为 y=4(-3≤x≤4)

得：x2a28

ⅰ.当a80时，方程组无解，即0a22 ⅱ.当a80时，方程组无解，即或a26 220a22或a26

点评：本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解。

x2y21及点b(0,-2)过左焦点f 与b的直线交椭圆于 c、d 两点，椭圆的右焦例3.已知：椭圆2点为f2，求⊿cdf2的面积。

解：∵ f1(-1,0)∴ 直线bf1的方程为 y=-2x-2 代入椭圆方程得：9x

又∵ 点f2(1,0)到直线bf1的距离d∴scdf2216x60

514cdd10 29点评：本题使用了弦长公式及点到直线的距离公式来解决问题，这是一种基本的解题方法。

（三）利用数形结合的思想解题

例4.过点(0，2)的直线l与抛物线 y =4x仅有一个公共点，则满足条件的直线l有(c)a.1条 b.2条 c.3条 d.4条

y2x21总有公共点，求b的取值范围。例5.不论k为何值，直线y=kx+b 与椭圆94解：观察演示可得： b3,3

2y21的右焦点作直线l交双曲线于 a、b两点，|ab|=4 ,则这样的直线存在(c)例6.过双曲线x2a.一条 b.二条 c.三条 d.四条

（四）总结：1.利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。2.数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。

（五）作业：

1、直线ykx2交抛物线y28x于a、b两点，若ab的中点横坐标等于2，求ab。

2、已知双曲线c：2x2y22与点p(1,2)，（1）求过p(1,2)点的直线l的斜率k的取值范围，使l与c分别有一个交点、两个交点、没有交点。（2）是否存在过点p 点的弦ab，使a、b中点为p ？（3）若q(1,1)，试判断以q点为中点的弦是否存在。

3、如图所示，已知抛物线y24x的顶点为o，点a的坐标为(5,0)，倾斜角为

的直线l与线段oa相交，4（不过点o或点a），且交抛物线于m、n两点，求amn面积的最大值时l的方程，并求amn的最大面积。

4、已知圆锥曲线c经过定点p(3,23)，它的一个焦点为f(1,0)，对应于该焦点的准线为x1，过焦点f任意作曲线c的弦ab，若弦ab的长度不超过8，且直线ab与椭圆3x22y22相交与不同的两点，求（1）ab的倾斜角的取值范围。（2）设直线ab与椭圆相交于c、d两点，求cd中点m的轨迹方程。

直线与圆锥曲线位置关系判断篇三

直线与圆锥曲线的位置关系

一．知识网络结构：

几何角度(主要适用于直线与圆的位置关系)直线与圆锥曲线的位置关系代数角度（适用于所有直线与圆锥曲线位置关系）1.直线与圆锥曲线利用一般弦长公式（容易）直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用两点间距离公式（繁琐）

2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线l的方程与圆锥曲线的方程联立得到axbxc0。

①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若a0，设b4ac。a.0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。22

二．常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：

x2y2

例1.椭圆1上的点到直线x2y20的最大距离是（）164

a.3b.c.22d.x2y2

例2.如果椭圆1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）369

a.x2y0b.x2y40c.2x3y120d.x2y80

题型二：直线与双曲线的位置关系：

例3.已知直线l:ykx1与双曲线c:xy=4。

⑴若直线l与双曲线c无公共点，求k的范围；

⑵若直线l与双曲线c有两个公共点，求k的范围；

⑶若直线l与双曲线c有一个公共点，求k的范围；

⑷若直线l与双曲线c的右支有两个公共点，求k的范围；

⑸若直线l与双曲线c的两支各有一个公共点，求k的范围。22

题型三：直线与抛物线的位置关系：

例4.在抛物线y2x上求一点p，使p到焦点f与p到点a(3,2)的距离之和最小。

题型四：弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线斜率为k与圆锥曲线交于点ax1,y1，bx2,y2时，则



ab=k2x1x2=k2

=

x1x224x1x2 y1y224y1y

211yy=12k2k2

可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。

x2y2

例5.过双曲线1的右焦点f2，倾斜角为300的直线交双曲线于a、b两点，求ab。

题型五：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：

⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；

⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程；

⑶.设弦的两个端点分别为x1,y1,x2,y2，则这两点坐标分别满足曲线方程，又

x1x2y1y2,22

为

弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。

例6.已知双曲线方程2xy=2。

⑴求以a2,1为中点的双曲线的弦所在的直线方程；

⑵过点1,1能否作直线l，使l与双曲线交于q1，q2两点，且q1，q2两点的中点为1,1？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，说明理由。

题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：

例7.在抛物线y64x上求一点，使它到直线l：4x3y460的距离最短，并求这个最短距离。

高考题强化训练

1.过点a(1,0)作倾斜角为

2的直线，与抛物线y2x交于m、n两点，则mn。4

写出所涉及到的公式：

2.已知抛物线c的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线c交于a，b两点，若p2,2为ab的中点，则抛物线c的方程为。

x2y2

3.过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a、b两点，o为坐标

原点，则△oab的面积为

4.已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|12，p为c的准线上一点，则abp的面积为（）a．18

b．2

4c．36d．48

5.设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点f,且和y轴交于点a,若△oaf(o为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()

a.y4xb.y8xc.y4xd.y8x

2222

x2y2

6.设双曲线221的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为()

ab

.a.b.5c.d.24

y2

7.设f1,f2分别是椭圆e：x+2=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过f1的直线l与e相交于a、b两点，b

且af2，ab，bf2成等差数列。⑴求ab

⑵若直线l的斜率为1，求b的值。

8.已知过抛物线y2pxp0的焦点，斜率为22的直线交抛物线于ax1,y2,bx2,y2（x1x2）

两点，且ab9． ⑴求该抛物线的方程；

⑵o为坐标原点，c为抛物线上一点，若，求的值．

直线与圆锥曲线位置关系判断篇四

45直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离

2.直线与圆锥曲线相交的弦长

3.弦的中点问题

4.垂直问题

例1.椭圆x

y

1，过左焦点作倾斜角为



6的直线与椭圆相交，求弦长。

例2.已知双曲线的方程为x2

y

1，求以a2,1为中点的弦所在的直线方程。

例3．设直线l过双曲线x2



y

1的一个焦点，交双曲线于a、b两点，o为



坐标原点，若oaob0，求ab的值.已知椭圆x2

2y2

4，则以(1,1)为中点的弦的长度是