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杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸 2018 年 考试科目代码 817 考试科目名称 高等代数 (本考试科目共 3 页,第 1 页) 杭 州 师 范 大 学 2018 年招收攻读硕士研究生入学考试题 考试科目代码: 817 考试科目名称: 高等代数 说明:考生答题时一律写在答题纸上,否则漏批责任自负。 每题 15 分,共 150 分 1. 将多项式 1 n x 分别在实数域与复数域上分解成不可约多项式的乘积。 2. 设 3 2 ( ) (1 ) 4 2f x x t x x u 与 3 2 ( ) 2g x x tx u 的最大公因式是一个二次 多项式,求 ,t u 的值。 3. 求下列行列式的值: 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n a a a a a a a a a 。 4. 讨论:当t 取何值时,二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( , , ) 4 2 10 6f x x x x x x tx x x x x x 是 正定二次型。 5. 已知 1 (7, 10,1,1,1) T , 2 (6, 8, 2,3,1) T , 3 (5, 6, 5,5,1) T , 4 (1, 2,3, 2, 0) T 都是线性方程组 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 3 2 3 0 2 2 6 0 5 4 3 3 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ① 的解向量。 杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸 2018 年 考试科目代码 817 考试科目名称 高等代数 (本考试科目共 3 页,第 2 页) (1)求 1 2 3 4 , , , 的一个极大无关组。 (2)判断(1)中所求得的极大无关组是否是方程组①的一个基础解系;若不是, 将其扩充成方程组①的一个基础解系。 6. 设 A 是 n 阶方阵,证明: 1* n A A (其中 * A 表示 A 的伴随矩阵)。 7. 设 0 1 -1 , , , n a a a 是 n 个实数,A 是 n 阶方阵。 0 1 2 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 n n A a a a a a (1)若 是 A 的特征根,试证 2 1 (1, , , , ) n T 是属于 的特征向量; (2)若已知 A 有 n 个两两互异的特征根 1 2 , , , n ,求可逆阵 P,使得 1 P AP 是 对角阵。 8. 设 为有限维欧氏空间 V 上的正交变换。令 1 ( ) ,V V 2 ( )V V 。 证明:(1) 1 V 和 2 V 都是 V 的线性子空间;(2) 1 2 V V V 。 9. 设 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 3 [ ] ( ) | , , ,R x f x a a x a x a x a a a a R 为实数域上次数小于 4 的 多项式构成的向量空间,定义 4 [ ]R x 上二元运算如下 1 1 ( ( ), ( )) ( ) ( )f x g x f x g x dx , 证明: (1)上述二元运算是 4 [ ]R x 上的内积; (2)求在上述内积下,欧氏空间 4 [ ]R x 的一组规范正交基。 杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸 2018 年 考试科目代码 817 考试科目名称 高等代数 (本考试科目共 3 页,第 3 页) 10. 设 V 是全体 2 阶实方阵构成的向量空间,定义 V 到 V 的映射 : ( ) ( )x Ax x V ,其中 a b A V c d 。 (1)证明: 是 V 上的线性变换; (2)当 1 2 2 4 A 时,分别求 的核和像的基和维数。
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