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桂林电子科技大学硕士研究生入学考试复试试卷 考试科目代码:219 考试科目名称:概率论与数理统计(A 卷) 请注意:答案必须写在答题纸上(写在试卷上无效)。 一、计算题(每小题 10 分,共 30 分) 1.一颗骰子掷两次, X 表示两次点数的最大数。试求: (1) X 的分布列; (2)写出 X 的分布函数。 2. 设随机变量 2 ~ 0,X N ,试求: 4 E X 。 3. 设随机变量 ,X Y 不相关, 2, 1E X Var Y E Y 。试求 2E X X Y 二、 证明题(每小题 10 分,共 30 分) 1.设 A,B,C 三事件相互独立,试证 A-B 与 C 独立。 2.设连续随机变量 X 的密度函数 )(xp 是一个偶函数, ( )F x 为 X 的分布函数, 试证: ( < )=2 ( )P X a F a -1。 3. 设随机变量 X 的数学期望 ( )E X 和方差 ( )Var X 均存在。试证明:对 0 ,有 2 ( ) { ( ) } Var X P X E X 。 三、计算题(每小题 10 分,共 20 分) 1.设总体 X 服从正态分布,即 ),(~ 2 NX , ,, 21 XX … n X, 是 X 的样本。试求a 使 n i n j ji XXa 1 1 ˆ 为 的无偏估计。 2. 设总体 X 的概率密度为: 1 1 1 0 x f x 其 他 。 其中 为未知参数。 1 , , n X XL 为总体 X 的样本。试求 的矩估计和最大似然估计。 四、证明题(每小题 10 分,共 20 分) 1. 证明:如果已知总体 X 均值为 XE 。则统计量: 2 2 1 1 ˆ n i i x n 是总体 X 方差 XD 2 的无偏估计。其中 1 2 ,X X ,… n X 是总体 X 的样本。 。 2. 设总体 ( )X F x: ,且有 ( )E X , 2 ( )D X , 1 , , n X XL 是 X 的样本。试证: 2 2 ( )E s 。 共 1 页 第 1 页
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