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1 青岛大学 2010 年硕士研究生入学考试试题 科目代码: 615 科目名称: 数学分析 (共 2 页) 请考生写明题号,将答案全部答在答题纸上,答在试卷上无效 1. (本题满分 30 分) 求下列极限: (1) lim( ) 2 n n n n a b , 其中 0, 0, 1, 1a b a b ; (2) 2 limsin( 1) n n ; (3) lim 3 ! n nn n n . 2. (本题满分 20 分)证明数列 { }nx 收敛,其中 1 3x , 1 1 3 ( ) 2 n n n x x x , 1,2,3,n ; 并求极限 lim n n x . 3. (本题满分 10 分) 是否存在正实数a 使得恰好比其立方少 1 ?为什么? 4. (本题满分 10 分) 设函数 ( )f x 在区间 ( , )a 可导,且 ( )f x 在区间 ( , )a 上有界,证明函数 ( )f x 在区间( , )a 上一致连续. 5. (本题满分 10 分) 设函数 ( ) 0f x ,在有限区间[ , ]a b 上连续,证明: 21 ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx dx b a f x . 6. (本题满分 10 分) 设函数 ( )f x 在 0x 的某邻域内 n 阶可导,若 ( )f x 被n 阶多项式 2 0 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( )n n nP x a a x x a x x a x x 逼近,相差是 0( )n x x 的高阶无穷小,证明 n 阶多项式 ( )nP x 是唯一的.
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