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青岛大学 2011 年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 816 科目名称： 高等代数 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、(30 分) 设 321 ,, εεε , 4ε 是四维线性空间 V 的一组基,已知线性变换 A 在这组基
下的矩阵为
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
2122
5521
3121
1201
1) 求 A 在基 1 1 2 42ε ε= − + 444334322 2,,3ε ,
1
η εηεεηεεεη − − = + == 下 的矩阵;
2) 求 A 的核与值域;
3) 在 A 的核中选一组基,把它扩充为 V 的一组基,并求 A 在这组基下的矩阵;
二、（15 分） 取什么值时，下列二次型是正定的：t
323121
2
3
2
2
2
1 4225 xxxxxtxxxx +−+++
三、（15 分）讨论λ 取什么值时，下列方程有解，并求解.
1 2 2
1 2 3
1 2 3
( 3)
( 1) 2
3( 1) ( 3) 3
x x x
x x x
x x x
λ λ
λ λ λ
λ λ λ
+ + + =⎧
⎪
+ − + =⎨
⎪ + + + + =⎩
四、（20 分）设 A 是一个 阶矩阵，证明：n
1） A 是反对称矩阵当且仅当对任一个 维向量n X ，有 0=′AXX .
2）如果 A 是对称矩阵，且对任一个 维向量n X 有 0=′AXX ，那么 .0=A
五、（20 分）欧氏空间 V 中的线性变换 Α 称为反对称的，如果对任意α ，β ∈V，
有 ( Α α ， β ）= —（ α， Α β ）
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