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青岛大学 2012 年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 816 科目名称： 高等代数 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、(10 分) 设 3 2
( ) (1 ) 2 2f x x t x x u 与 3 2
( )g x x tx u 的最大公因式是
一个二次多项式，求 ,t u 的值.
二、（10 分）证明：计算
x
x
x
xx
xf
111
123
111
212
中 4
x 与 3
x 的系数，并说明理由.
三、（20 分）设 1 2, , , rt t t 是互不相同的数， r n .证明：
1
(1, , , )( 1,2, , )n
i i it t i r
是线性无关的.
四、（20 分）设 B 为一 r r 矩阵，C 为r n 矩阵，且 ( )rank C r .证明：
1）如果 0BC ，那么 0B ；
2）如果 BC C ，那么 B E .
五、（20 分）证明：如果 A 是n n 矩阵( 2)n ，那么
*
, ( )
( ) 1, ( ) 1
0, ( ) 1
n rank A n
rank A rank A n
rank A n
当
当
当
六、（20 分）证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘
积的充分必要条件是：它的秩等于 2 且符号差等于 0，或者秩等于 1.
七、（20 分）证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1 或-1.
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