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一、极限及其应用（每题6分，共18分）
1、计算
1
lim
+∞→ n
n
n a
a
, 其中 1−≠a ；
2、计算
nx
n
x n
aaa xxx
+++
∞→
111
...
lim 21
, 其中 0,...,, 21 >naaa ；
3、已知 2
2
lim 2
4
1
=
−+
++
→ xx
baxx
x
, 试确定 ba, 的值。
二、导数与微分（每题6分，共18分）
1、试求由参数方程
=
=
tey
tex
t
t
sin
cos
所确定的函数的导数
dx
dy
与二阶导数 2
2
dx
yd
；
2、已知 x
xxf =)( ，求 )(2
xfd ；
3、已知 )100)...(2)(1()( −−−= xxxxxf ，求 )0(f ′ 。
三、一元积分学（每题6分，共24分）
1、计算 ∫ xdxln ；
2、计算 ∫ −
dx
x
x
2
2
sin2
cos
；
3、计算 dxxxx )cos(tan 42
4
4
+∫
−
π
π
；
4、求心形线 )cos1(2 θ−=r 绕极轴所在直线旋转所得旋转曲面的面积。
四、一元微分学（第一题7分，第二题8分，共15分）
1、设 )(xf 在区间 ]1,0[ 上连续，在区间 )1,0( 上二阶可导。过点 ))0(,0( fA 与点
))1(,1( fB 的直线与曲线 )(xfy = 相交于点 ))(,( cfcM 。证明在区间 )1,0( 内至少存在
一点ξ ，使得 0)( =′′ ξf 。
1
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