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2018 年硕士研究生招生考试试题 科目代码及名称: 822 高等代数 适用专业:应用数学 (请考生在答题纸上答题,在此试题纸上答题无效) 1、(15 分)判断多项式 5 3 2 ( ) 4 3 2f x x x x x 在实数域上有无重因式,若 有的话,求出重因式并指出其重数。 2、(20 分)计算下列n 级行列式 (1) 1 1 1 1 0 0 2 1 0 1 0 1 0 0 1 n n L L M M M M L L , (2) 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 2 L L L M M M O M M L L . 3、(20 分)k 取何值时,线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 2 x x x x x kx x kx x 无解?有唯一解?有无穷多解?当有解时,求出其一切解。 4 、( 15 分 ) 在 实 数 域 内 , 用 非 退 化 线 性 替 换 化 二 次 型 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( , , ) 4 2 2f x x x x x x x x x 为规范形(写出所作的非退化线性替换). 5、(15分)设有向量组 1 2 3 1, 0, 2,1 , 2, 0,1, 1 , 3, 0,3, 0 ; 1 2 1,1, 0,1 , 4,1,3,1 . 第 1 页,共 2 页 2018 年硕士研究生招生考试试题 科目代码及名称: 822 高等代数 适用专业:应用数学 (请考生在答题纸上答题,在此试题纸上答题无效) 令 1 1 2 3 2 1 2 , , , ,V L V L . 求 1 2 V V 的维数和一组基. 6、(15 分)设 3 0AXB C D ,求矩阵X ,其中 2 1 1 1 1 1 3 2 1 A , 1 0 0 0 0 1 0 1 0 B , 1 0 2 0 2 1 2 3 3 3 C , 2 0 3 2 0 7 3 3 3 2 8 D . 7、(15 分)设 A 为n 级方阵. 证明:若任意非零n 维向量都是A 的特征向量, 则 A 是数量矩阵。 8、(20分)设 是n 维欧氏空间V 的线性变换,证明下面三个命题相互等价: (1) 是正交变换; (2) 保持向量的长度不变,即对于任意 V , ; (3)如果 1 2 , , , n L 是标准正交基,那么 1 2 , , , n L 也是标准正交基. 9、(15 分)设 1 , , n L 为一线性无关的向量组, 为向量.证明要么向量组 1 , , n L 线性无关, 要么向量组 1 , , n L 线性无关. 第 2 页,共 2 页
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