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2010 年硕士研究生招生入学考试试题
科目代码及名称: 816 高等代数（A） 适用专业：应用数学
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1 （12 分）、设
2 1
2 1
1 1 1
2 1
1 1 1
1
1
( )
1
n
n
n
n n n
x x x
a a a
f x
a a a
，其中 1 2 1
, , n
a a a
是互不相同的数。
（1）证明 ( )f x 是一个 1n 次多项式；
（2）求出 ( )f x 的所有根。
2 （24 分）、 设 n 阶矩阵 A、B 满足条件： A B AB 。
（1）证明 A E 是可逆矩阵；
（2）证明 AB BA ；
（3）如果
1 3 0
2 1 0
0 0 2
B
，试求 A。
3（10 分）、已知 A、B 均为 n 阶正定矩阵，证明： A B 也是正定矩阵。
4（12 分）、证明多项式
2
( ) 1
2 ! !
p
x x
f x x
p
在有理数域上不可约，其中 p 为素
数。
5（18 分）、用正交线性替换把二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 2 2 4 4 8f x x x x x x x x x x x x
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