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空军工程大学 2011 年博士研究生入学试题
考试科目：量子力学（A卷） 科目代码 3081
说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，
写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，
试题必须同试卷一起交回。
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一． (15 分) 量子力学中体系的状态用_________描述，物理量用_________
表示；体系状态演化方程是含时薛定谔方程，其数学表达式为_______________。
在一维势场 U(x)中，质量为 m 的粒子的定态薛定谔方程为：_______________。
若体系的状态为 ；则物理量Qˆ
的平均值的表达式为：______________;
二． (15 分)如果1和2是某体系含时薛定谔方程的两个解，证明其线性叠
加态： =a1+b2 (a, b 为常数) 仍是该体系含时薛定谔方程之解。其乘积
=12是否仍是该体系含时薛定谔方程之解？为什么？
三． (15 分)请写出角动量三个分量 zyx
LLL ˆˆˆ 、、 之间的对易关系，并据此计
算：1） yxzxzyzyx
LLLLLLLLL ˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ
2） z
LL ,
2
（其中 2222
zyx
LLLL ）
四． (15 分)质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，若势阱的宽度为 L,
如图所示。粒子的能量本征值及相应本征波函数
分别为：
2
222
2
π
mL
n
En
，
L
xn
L
n sin
2
1,2,3...,n
若粒子初态为：
L
x
L
x
L
x
3
sinsin
1
)0,(
求：（1）粒子在任意时刻 t 的波函数 (x,t) 及概率密度分布 p(x,t)；
（2）若测量该粒子的能量，得到 E3, 求测量后该粒子的波函数。
U(x)
0 L x
0 L
x
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