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空军工程大学 2011 年博士研究生入学试题 考试科目:量子力学(B卷) 科目代码 3081 说明:答题时必须答在配发的空白答题纸上,答题可不抄题,但必须写清题号, 写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记,否则试卷作废, 试题必须同试卷一起交回。 共 2 页第 1 页 一. (15 分)量子力学中的微观体系的状态用_________来描述,物理量用 ________表示。体系状态演化方程是含时薛定谔方程,其表达式为___________。 质量为 m 的粒子在一维势场 U(x)中运动的定态薛定谔方程为:______________。 若体系的状态为 ;则物理量Qˆ 的平均值的表达式为:______________; 二. (15 分)如果1和2是某体系含时薛定谔方程的两个解,证明其线性叠 加态: =a1+b2(a, b 为常数) 仍是该体系含时薛定谔方程之解。其乘积 =12是否仍是该体系含时薛定谔方程之解?为什么? 三. (15 分)请写出角动量三个分量 zyx LLL ˆˆˆ 、、 之间的对易关系,并据此计 算下列对易关系:1) yxzxzyzyx LLLLLLLLL ˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ ; 2) z LL , 2 (其中 2222 zyx LLLL )。 四. (25 分)质量为m 的粒子在一维无限深方势阱中运动,势阱可表示为: 0; 0, ; 0, x a V x x x a (1)[10 分] 求解能量本征值 n E 和归一化的本征函数 ( )n x ; (2)[5 分] 若已知 0t 时,该粒子状态为: 2/0, 21 xxx , 求t 时刻的波函数 tx, ; (3)[5 分] 求t 时刻测量到粒子的能量分别为 1 E 和 2 E 的几率是多少?t 时刻 粒子的平均能量E 是多少? (4)[5 分] 求t 时刻粒子的平均位置x 。
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