东南大学高等代数2011年(含答案)考研真题考研试题

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◇◆◇ 第 308 期 ◇◆◇  研究生数学试题汇解  mxcaimaths@163.com
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东南大学 2011 高等代数考研试题参考解答
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引言
本文是东南大学 2011 年硕士研究生入学考试《高等代数》试题的参考解答．试题来自
网络．第二题由零化多项式对矩阵求逆．第三题证明非零多项式生成的主理想之和是由它们
的最大公因式生成的主理想．第六题是反射变换的正交性质及应用．第七题讨论实对称三对
角矩阵的特征值及其中心化子的结构形式．第九题用 Jordan 分解对可逆矩阵开任意次方．
试题
一、（20 分）设，问：当取什么值时，线性方程组2n  a
 
 
 
1 2
1 2
1 2
1 1
2 2 2
n
n
n
a x x x
x a x x
nx nx n a x n
    

    


     




没有解、有唯一解、有无穷多解？当线性方程组有无穷多解时，求其通解．
二、（15 分）假设 n n 矩阵 A 满足
2
2 3A A E 0  
A kE
．问：当正整数 k 满足什么条件时，
矩阵可逆？当可逆时，将A kE A k E 
1
 表示成关于的多项式．A
三.（15 分）记  x 是数域上的多项式环．假设      ,f x g x x 不全为零，是 m x
 f x 与的所有组合中次数最低的非零多项式．证明： g x  m x 是  f x 与的
最大公因式．
 g x
四.（20 分）假设是不全为零的实数，二次型, ,a b c
    1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,f x x x x x x ax bx cx     ．
证明： f 的秩等于 2 当且仅当不全相等，当, ,a b c f 的秩等于 2 时，求 f 的正、负惯
性指数．
五、（20 分）设是复矩阵在通常运算下构成的复数域上的线性空间，上的线
性变换
2 2
 2 2 2 2

f 定义如下：
  2 2
,
2 2
a b a b a b
f X X
c d c d c d
    
     
    
 ，
记
11 12 21 22
1 0 0 1 0 0 0 0
, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1
E E E E
       
          
       
．
1、求 f 在的基下的矩阵；
2 2
 11 12 21 22, , ,E E E E A

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