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桂林电子科技大学硕士研究生入学考试复试试卷
考试科目代码：219 考试科目名称：概率论与数理统计
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试卷上无效）。
一、计算题（每小题 10 分，共 30 分）
1. 设 .r vX 的分布列： 1
( ) 2 (1 ) , 1, 2,
K
P X k k
K 。其中0 1 ，若
5
( 2)
9
P X ，试求
( 3)P X 。
2. 设随机变量Y 服从参数为 1 的指数分布， 0a 为常数。试求：
1P Y a Y a 。
3. 设随机变量 ,X Y 不相关， 2, 1E X Var Y E Y 。试求 2E X X Y
二、 证明题（每小题 10 分，共 30 分）
1. 设 A，B，C 均为随机事件。证明： APBCPACPABP ；
2. 证明泊松分布具有可加性。若 ~ ( ), 1, 2, ,j j
X p j k ，且 1 2
, , , k
X X X 相互独立。则
1 1
~ ( )
k k
j j
j j
Y X p
；
3. 设 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 ( )E X 和 方 差 ( )Var X 均 存 在 。 试 证 明 ： 对 0 ， 有
2
( )
{ ( ) }
Var X
P X E X
。
三、计算题（每小题 10 分，共 20 分）
1. 设 1
x ， 2
x ，…， 1n
x
是总体 X ～ 2
( , )N 的样本。
1
n
i
i
x x
，
2
1
n
i
i
s x x
。
试求统计量 1
1
n n
n
x x
s
的分布及自由度。
2. 设总体 X 的概率密度为：
1
1
1
0
x
f x
其 他
。
其中 为未知参数。 1
, , n
X XL 为总体 X 的样本。试求 的矩估计和最大似然估计。
四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
1. 设 1
, , n
X XK 是总体 2
( , )N 的简单随机样本， 2 21
T X s
n
。试证：T 是 2
的无偏估计；
2. 设总体 2
( , )X N : ，从总体 X 中抽取样本 1 2
, , n
X XL ( 2)n ，
2
1
( 2 )
n
i n i
i
Y X X X
,其中
2
1
1
2
n
i
i
X X
n
。试证：
2
( ) 2( 1)E Y n
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