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南京师范大学
1998 年研究生入学考试试卷
学科专业：理论物理
考试科目：量子力学（548）
擒狐（qinhu）编缉 http://qinhu.533.net OICQ:6852428
一、（10 分）若要使电子的德布罗意波长达到 1 米，那么电子的速度应为多少？若将电子换
为中子，其速度又为多少？通过计算，你认为宏观尺度上的物质波是否现实？
二、（10 分）已知作一维运动的自由粒子的位置与动量之间的测不准关系为 ，导出其时间
与能量之间的测不准关系。
三（15 分）（1）计算下列对易关系： 。
（2）若算符 与它们的对易子 都对易，证明：
（3）证明在有心力场中运动的粒子，其角动量守恒。（不考虑自旋）
四、（10 分）一个质量为 m 的粒子在势阱 中运动，求其基态，第一、二激发态的能量。
五、设有 5 个没有相互作用的质量为 μ 自旋为 1 的粒子，在一维谐振子势阱 中运动，问其
体系的基态能量为多少？若将这 5 个粒子换成自旋为 的粒子（质量仍为 μ），则体系的基态
能量又为多少？
六、（15 分）计算算符 的本征值与本征函数，其中 为常数， 为 单位矩阵， 为泡利算符。
若 ，则本征值与本征函数为多少？
七、对于单电子原子，其哈密顿量为
（1）试证明轨道角动量 和自旋 不是守恒量，总角动量 是守恒量。
（2）若自旋—轨道相互作用 可当作微扰，计算此系统的能量到一级修正。（ 的本征能量为 ，
本征函数： 为自旋波函数）
八、现有一两电子体系，已知一个电子处于 的本征态，计算：
（1）体系的自旋波函数，
（2）总自旋 S 的右能值与相应的几率，
（3） 和 的平均值。
常用物理常数：
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