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1 青岛大学 2009 年硕士研究生入学考试试题 科目代码: 615 科目名称:数学分析 (共 2 页) 请考生写明题号,将答案全部答在答题纸上,答在试卷上无效 1. (本题满分 30 分) 求下列极限: (1) 1 lim tan ( ) 4 n n n ; (2) 2 2 2 1 2 lim ( ) 1 11 2 n n n n n n ; (3) 2 0 1 1 tan (1 cos ) lim ln(1 ) (1 ) xx a x b x a x b e , 其中 2 2 1 0a a . 2. (本题满分 10 分) 解下列各题: (1) 试画出一导函数 ( )f x 的图形(非常数),并据此导函数的图形简单画 出函数 ( )f x 的图形; (2) 试用某一物理意义解释拉格朗日微分中值定理. 3. (本题满分 10 分) 利用确界原理证明: 若单调递减实数列{ }n x 有下界,则 数列{ }n x 收敛, 且 lim n n x a , 其中 inf{ }n a x . 4. (本题满分 15 分) 设方程 2 0 2 tan( ) sec , x y x x y tdt x y 确定了 y 是x 的函数,求 2 2 d y dx . 5. (本题满分 15 分) 设函数 ( )f x 和 ( )g x 均在有限区间[ , ]a b 上连续,且 ( )g x 不变号.证明:至少存在一点 [ , ]a b , 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x g x dx f g x dx . 6. (本题满分 15 分) 证明:广义积分 1 cos x dx x 收敛,而 1 | cos |x dx x 发散.
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