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青岛大学 2011 年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 815 科目名称： 量子力学 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、简答题（每小题 6 分，共 30 分）
1. 微观粒子的状态用什么来描述，其物理意义是什么？
2. 力学量算符与力学量之间的关系。
3. 什么是粒子的全同性原理？
4. 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态和定态?
5. 什么是费米子，什么是波色子，各具有什么性质？
二、（第 1 小题 20 分，第 2 小题 10 分，第 3 小题 10，共 40 分）
质量为 的一个粒子在边长为 的立方盒子中运动，粒子所受势能
由下式给出：
m a ( , , )V x y z
( ) ( ) ( )0, 0, ; 0, ; 0,
( , , )
,
x a y a z a
V x y z
others
∈ ∈ ∈⎧⎪
= ⎨
∞⎪⎩
；
（1）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；
（2）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能
是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为 1
2 ，是费米子）；
（3）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基
态能是多少？并写出归一化系统基态波函数；
三、证明题（第 1 小题 15 分，第 2 小题 15 分，共 30 分）
1. 证明在当体系处于状态 状态时，lmY 0== yx ll ；
2. 设 的本征矢，即 为本征值，试证明
也是 K 的本征矢，相应的本征值分别为
KLMMLMLK ˆ,1ˆˆˆˆ,ˆˆˆ 为ϕ=−= λλϕϕ ,ˆ =K
ϕϕμ MvL ˆ,ˆ ≡≡ .1,1 +− λλ
四、（20 分）
设在H
0
表象中 ，用微扰论求能量修正量),()0(
2
)0(
1
为实数ba
aEb
baE
H ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
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