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青岛大学 2010 年硕士研究生入学考试试题
科目代码： 815 科目名称： 量子力学 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、（30 分）简述量子力学的五个基本原理（或基本原理）
二、（第 1 小题 20 分，第 2 小题 15 分，共 35 分）
1. 一个微观粒子在一维无限深势阱中运动，势阱的形状如下：
0 0
( )
0,
x a
u x
x x a
求粒子的本征能量和本征波函数。
2. 若在上述势阱中运动粒子的状态为
2 2
cos sin sin
x x x
A
a a a
求粒子能量的几率分布和能量平均值。
三、（第 1 小题 15 分，第 2 小题 20 分，共 35 分）
角动量算符 ˆL 的三个分量分别为 ˆ
xL 、 ˆ
yL 和 ˆ
zL ，现定义算符
ˆ ˆ ˆ
x yL L iL ， ˆ ˆ ˆ
x yL L iL
1. 证明：（a）
2 2ˆ ˆ ˆ( 1)L L lm l l L lm ;
（b） ˆ ˆ ˆ( 1)zL L lm m l L lm
2. 在
2ˆL 和 ˆ
zL 的共同本征态 lm 下，
2
2 2 2ˆ ˆ( ) ( ) ( 1)
2
x xL L l l m
。
四、（第 1 小题 12 分，第 2 小题 18 分，共 30 分）
设体系的哈密顿算符 ˆH 在“
(0)ˆH ”表象中的矩阵为
0
1
0
2
0
3
0
ˆ 0
E d a
H E d b
a b E d
其中
0 0 0
1 2 3E E E 均为
(0)ˆH 的本征值， , ,a b c 均为实数，求
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