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科目代码:401 请在答题纸(本)上做题, 在此试卷及草入纸上做题无效! 山东科技大学 2005 年招收硕士学位研究生入学考试 高等代数试题 ( 共 2 页 ) 一.(共 70 分,每小题 14 分) 1.试确定 A,B,使得 1x 是多少项式 )1(1)( 1 nBxAxxf nn 的二重因式。 2.证明方阵 A 的最小多项式是唯一的。 3.证明实二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 48455),,( xxxxxxxxxxxxf 为正定二次型 4.已知 a1a2…as 的秩为 )0( rr ,证明:a1a2…as 中任意 r 个线性 无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。 5.设 T 是 R 2 的一个线性变换,向量 2 12 0 11 , aa 在变换 T 下的像是 2 32 0 11 , TaTa ,试求:T 在基 0 12 1 01 , ee 下的矩阵。 第 1 页 二.(20 分)设 A 是 n 级方阵,证明:存在一个 n 级方阵 0B 使 0AB 的充分必要条件是 0A 。 三.(20 分) )(FMn 表示数域 F 上的全体 n 级方阵构成的线性空间, 试证: 1.N 级对称矩阵的集合 W1和 n级反对称矩阵的集合 W2 都是 )(FMn 的 线性了空间; 2. 21)(M WWFn 四.(20 分)设 340 430 241 A 求 k A (其中 k 为正整数) 五.(20 分)设 V 是欧氏空间,W1 与 W2 是 V 的两上子空间试证: 1.若 1221 , WWWW 则 ; 2.当 V 是有限维时,若 W1 是 A 子空间,则 1W 是 A 子空间,其 中 A 是 V 上的任一正交变换。 第 2 页
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