2025年利用定积分的定义求极限例题(四篇)

每个人都曾试图在平淡的学习、工作和生活中写一篇文章。写作是培养人的观察、联想、想象、思维和记忆的重要手段。那么我们该如何写一篇较为完美的范文呢？下面是小编为大家收集的优秀范文，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

利用定积分的定义求极限例题篇一

符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：

int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；

int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；

int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

例：

求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：

>>syms x y z %定义符号变量

>>f2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)%注意定积分的书写格式

f2 =

1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)%给出有理数解

>>vf2=vpa(f2)%给出默认精度的数值解

vf2 =

224.92***3***280

5二、数值积分

1.数值积分基本原理

求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(simpson)•法、牛顿－柯特斯(newton-cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。

2.数值积分的实现方法

基于变步长辛普生法，matlab给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：

[i,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)

基于变步长、牛顿－柯特斯(newton-cotes)法，matlab给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：

[i,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)

其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数i即定积分值，n为被积函数的调用次数。

例：

求函数'exp(-x*x)的定积分，积分下限为0，积分上限为1。

>>fun=inline('exp(-x.*x)','x');%用内联函数定义被积函数fname

>>isim=quad(fun,0,1)%辛普生法

isim =

0.74682418072642

5il=quadl(fun,0,1)%牛顿－柯特斯法

il =

0.***

三、梯形法求向量积分

trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数y关于自变量x的积分(向量形式，数值方法)。

>>d=0.001;

>>x=0:d:1;

>>s=d*trapz(exp(-x.^2))

s=

0.7468

或：

>>format long g

>>x=0:0.001:1;%x向量，也可以是不等间距

>>y=exp(-x.^2);%y向量，也可以不是由已知函数生成的向量

>>s=trapz(x,y);%求向量积分

s =

0.***

int的积分可以是定积分，也可以是不定积分（即有没有积分上下限都可以积）可以得到解析的解，比如你对x^2积分，得到的结果是1/3*x^3，这是通过解析的方法来解的。如果int(x^2,x,1,2)得到的结果是7/3

quad是数值积分，它只能是定积分（就是有积分上下限的积分），它是通过simpson数值积分来求得的（并不是通过解析的方法得到解析解，再将上下限代入，而是用小梯形的面积求和得到的）。如果f=inline('x.^2');quad(f,1,2)得到的结果是2.333333，这个数并不是7/3

int是符号解，无任何误差，唯一问题是计算速度；quad是数值解，有计算精度限制，优点是总是能有一定的速度，即总能在一定时间内给出一个一定精度的解。

[from: 58.192.116.*]

对于y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))，被积函数之原函数无“封闭解析表达式”,符号计算无法解题，这是符号计算有限性，结果如下：

>> syms x

>>y=exp(-(x.^2+x+1)/(1+x))

>>s=int(y,x,0,inf)

y =

exp((-x^2-x-1)/(1+x))

warning: explicit integral could not be found.>> in at 58

s =

int(exp((-x^2-x-1)/(1+x)),x = 0..inf)

只有通过数值计算解法

>> dx=0.05;%采样间隔

>>x=0:dx:1000;%数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点，只要终值足够大，精度不受影响

>>y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x));

>>s=dx*cumtrapz(y);%计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得 >>s(end)

ans =

0.5641 %所求定积分值

或进行编程，积分上限人工输入，程序如下：

%表达式保存为函数文件

function y=fxy(x)

y=exp(-(x.^2+x+1)./(1+x));% save fxy.m

% main--------主程序

clear,clc

h=.001;p=0;a=0;

r=input('请输入积分上限，r=')

while a

p=p+(fxy(a)+fxy(a+h))*h/2;

a=a+h;

end

p=vpa(p,10)

运行主程序后得到结果：

请输入积分上限，r=1000

r =

1000

p =

.5641346055

其它结果如下：

0-1: int=.3067601686

0-2: int=.4599633159

0-5: int=.5583068217

0-10: int=.5640928975

0-100: int=.5641346055

0-1000: int=.5641346055

[from: 211.65.33.*]

在积分函数中,sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3通过函数参数输入,如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了，可以求三重积分了。

完整函数程序：

function fn(n1,n2,n3)

if n1==0

e1=1;

else if n1>0

e1=2;

end

end

if n2==0

e2=1;

else if n2>0

e2=2;

end

end

if n3==0

e3=1;

else if n3>0

e3=2;

end

end

f=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);

s=triplequad(f,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)%求三重数值积分

将以上代码保存为fn.m程序文件，即m文件，然后运行：

>> fn(1,1,1)

s =

866.9655

[from: 211.65.33.*]

三重积分请用三重积分函数triplequad，与三个积分上下限对应，即x=triplequad(f,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)

其中被积函数f用“匿名函数”来表达，即

f=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);

如果直接用inline或字符串的形式，则表达式中的未知数有9个，分别是e1,e2,e3,n1,n2,n3,x,y,z。而用匿名函数时，已知变量e1,e2,e3,n1,n2,n3就会以常数看待，未知数就只有x,y,z了。

完整函数程序：

function fn(n1,n2,n3)

if n1==0

e1=1;

else if n1>0

e1=2;

end

end

if n2==0

e2=1;

else if n2>0

e2=2;

end

end

if n3==0

e3=1;

else if n3>0

e3=2;

end

end

f=@(x,y,z)sqrt(e1*e2*e3)*cos(n1*pi*x/12).*cos(n2*pi*y/11).*cos(n3*pi*z/9);

x=triplequad(f,-6,6,-5.5,5.5,-4.5,4.5)

>> fn(1,1,1)

x =

866.9655

[from: 58.192.116.*]

利用定积分的定义求极限例题篇二

习题2-2

1.利用函数极限定义证明:

(3).limxsinx01x0;

x|1，则当 0|x| 时, 有 证明: 对于任意给定的正数 0, 取 , 因为 |sin

x1x1xxsin|x|sin|x|，所以limxsinx00.2．利用无穷大量定义证明：

（1）lim1x

4x；

1x

4证明：对于任意给定的正数 g0, 取 m4g1, 则当 |x|m 时, 有 |

所以 lim1x

4.|g，x

5．证明：若limf(x)a，则lim|f(x)||a|.xx0xx0证明：对于任意给定的正数 0, 由于limf(x)a，存在0，使得当

xx0

0|xx0|时, 都有|f(x)a|，而

|f(x)a||f||a||fa|，即||f(x)||a||，所以lim|f(x)||a|.xx0

利用定积分的定义求极限例题篇三

利用定积分的定义求极限 方法：如果f(x)dx存在，则lim

ab

ban

n

n



k1

f(a

ban

k)



ba

f(x)dx

例15求极限

n

（1）lim

n



k1n

nn4k

nn4k

解：lim

n



k1

lim

1n

n

n



k1

114()

n

k





114x

dx

actan2x

|0

actan2

n

（2）lim

n



k1n

nx2kn

解：lim

n



k1nx2kn

lim

n

k

[x2()]nk1n

n



(x2t)dtx1

（3）lim

1n

n

n(n1)(n2)(2n1)

n1

解：因为

1n

k0

ln(1n)

n

k

n(n1)(n2)(2n1)e

由于lim

1n

n

n



k1

ln(1

kn)



ln(1x)dx2ln21ln

4e

故lim

1n

n

n

n(n1)(n2)(2n1)e

ln

4e



4e

利用定积分的定义求极限例题篇四

数学之美2007年11月总第3期

浅谈用定积分的定义解决极限问题

王涛

（周恩来政府管理学院 政治学与行政学 0612723）

摘要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。

关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积

在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。

我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。

要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。

定积分的定义：设函数y=f(x)定义在区间a,b上有界，在a,b上任意插入分点：a=x0＜x1＜＜xn1＜xn=b,令xi=xixi1，又任取i[xi1,xi], i=1,2,…n.作和式inf(i)xi，令xm如果当xi0时，和式in的极限存在，且此极限与a,baxxi，i11inn的分法及i的取法无关，则称函数f(x)在a,b上是可积的，并称该极限值为f(x)在a,b上的定积分，记作

即baf(x)dx，nb

af(x)dxf(i)xi.x0i

180

其中函数f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间。1

b

这个定义看上去很复杂，但只要抓住af(x)dxf(i)xi即可。我们在x0i1

n

后面所要介绍的用定积分的定义解决极限问题也是围绕着这个公式展开的。从这个式子我们也可以看出极限与定积分之间的关系是很紧密的。有了定积分的定义，我们用具体例题来看怎样用定积分解决极限问题。

23n

sinsinsinsin2nnnn 例1.求

lim

111nn1

nnn

23n

解： 注意到：

23n

sinsinsinsin123nnnnn [sinsinsinsin]

n1nnnn111n1

nnn23n

123n1nk[sinsinsinsin]=（*）sin

nnnnnnk1n

由定积分定义，对上面不等式的右端取极限，得到

1nk1

=sinxdx=2 limsin0nnnk1

而不等式的左端取极限，有

n1nk=2 1nk=

sinsinlimlim

nk1nnnn1nn1k1

由夹逼定理知

23n

sinsinsinsinnnnnlim

111nn1

nnn

23n





=

2

这道题就是典型的用到定积分的定义来求极限的值。当我们对（*）左右两边的式子取

n1nkb

极限时，我们发现 limsin可以表为形如af(x)dxf(i)xi的形式.因

nnnk1x0i1

为f(x)sinx为[0, 1]上可积函数，所以对于[0, 1]任意划分及i的任意取法极限

刘桂茹，孙永华编著：《高等学校经济数学系列教材 微积分》，南开大学出版社，2004年12月版，第200

页。2

2005年天津市大学数学竞赛（人文学科及医学等类），第八题。

limf(i)xi都存在且相等, 此时令xi=

n

||x||0i1

1i，即把[0, 1]n等分, i为分点，由nn

定积分的定义我们得到

21nk1

==, sinxdxsinlim

n0nnk1

然后再取右边的极限,由夹逼定理我们得到最后的结果



.这道题解题的关键就是用到定积分的定义,把求极限问题与定积分的定义联系起来，很容易的解出题目。

让我们再来看一个例子.例2.求lim

n

n1)(n2)（nn)。

n

解：∵lim

n

(n1)(n2)（nn)

n

=lim

n

(n1)(n2)（nn)

n

=lim(1n)(1

n

2n)（1)nn

于是，我们设y(1n)(1

2n)（1)nn

1ni

ln(1)取对数lny

ni1n

于是有limlny=lim

n

1ni

ln(1).（**）

nnni1

我们采用同例1同样的方法。此时令xi=

1i，i1.所以（**）可等于 nn

11ni

limln(1)=0ln(1x)dx=2ln2ni1

因此limlny2ln21，n

n

limye

2ln21

=e

ln

e

4.e

所以最后的结果是lim

这道题与例1

n

(n1)(n2)（nn)4=.en

b

有相似之处，整理式子，发现（**）形如a

f(x)dxf(i)xi

x0i1

n

由定积分的定义把求（**）转化为求定积分的值，得到结果。

由上面两个例子我们可以发现几个问题：

1.用定积分的定义来求极限的问题，给出的题目往往是有无穷多个式子连乘或连加构成，而且式子看上去很复杂但很有规律，经过一定的变换可以得到如下形式

ba

n

f(x)dxf(i)xi

x0i1

运用此式可以把极限问题转化为求定积分值的问题。

2.解题时不仅要用到定积分的定义，还需要与其他方法结合使用。第一题中用到了夹逼定理，第二题则用到了取对数的方法。这样就增加了解题的难度题目。在出用定积分解极限问题时，一般不会直接让你看出用定积分定义来做此题，而是需要运用其他的方法把式子经过一定的变换之后再用定积分来做，定积分的定义是解题的关键。此类题的目的就是要用定积分的定义来解极限问题，但之前要把式子整理到形如定积分的定义式之后才能用定积分来做。达到了一道题考察多种概念、方法的目的。

以上就是我们所讨论的用定积分的定义来解某一类的极限问题。它所反映的思想就是要把相通的、有关系的事物联系起来，扩展思路，最终达到解决问题的目的。学习数学的目的就是为了锻炼人的逻辑思维能力。在实际生活中，我们也要解放思想，开阔思路，善于逆向思维，发掘更多解决问题的方法，这样对于我们整个国家、社会的发展也是非常有帮助的。参考文献

[1] 刘桂茹，孙永华.高等学校经济数学系列教材 微积分.天津：南开大学出版社，2004年12月版

[2] 陈吉象 戴瑛 郑弃冰 吴忠华.文科数学基础.北京：高等教育出版社，2003年8月版 [3] 2005年天津市大学数学竞赛（人文学科及医学等类）