高中基本不等式教案(三篇)

作为一名专为他人授业解惑的人民教师，就有可能用到教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。那么我们该如何写一篇较为完美的教案呢？那么下面我就给大家讲一讲教案怎么写才比较好，我们一起来看一看吧。

高中基本不等式教案篇一

第一部分：基本不等式变形技巧的应用

基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。

技巧一：加减常数

例

1、求函数yx

点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。

技巧二：巧变常数

例

2、已知0x

点评：形如f(x)x(1ax)或f(x)x2(1ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。

技巧

三、分离常数

例

3、已知x

5452121x1(x1)的值域。，求函数y＝x（1－2x）的最大值。，则f(x)x3x32x4542有（）32a、最大值b、最小值c、最大值d、最小值

32点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。

技巧

四、活用常数

例

4、若x,yr且满足

点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。

技巧

五、统一形式

例

5、已知a,b,cr，求(abc)(4x16y1，求x＋y的最小值。 1

ab1

c)的最小值。

点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数yxx2(0x1)可变形为y第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧

。x(1x)等）

1．轮换对称型

例1 若a,b,c是互不相等的实数，求

证：abc

222

abbcac.点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代换型

111

已知a,b,cr,且 abc1,求证 例2

点评：做“1”的代换。

.3.逆向运用公式型

a,br,ab1求证： a



b

2.例3已知

点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，a

12,b

将

11

转换成 1a,1b,然后逆向运222

用均值不等式： 若

a,br则 ab



ab2

.4．挖掘隐含条件证明不等式

111

a,br,ab1求证：11.ab9 例4 已知

a,br,ab1

12

ab说明a,br,ab1的背后隐含ab

4ab

2点评:由于

着一个不等式ab

.5．用均值不等式的变式形式证明不等式

ab例5已知a,b,cr,求证：



bc

ca



2abc.点评：本题的关键在于对ab,bc,ca的处理，如果能找出

ab与ab间的关系，问题就可以

222222

解决，注意到



ab2ab2ab





ab2

2ab

ab 其中a,b,cr即可。解题时要注意a

b2ab的ab

变式应用。常用



ab2

(其中a,br)来解决有关根式不等式的问题.

高中基本不等式教案篇二

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x1有最小值吗？ x2问题二：x31x322正确吗？

二、合作交流，研究课题

r中，a+b≥2ab，a+b≥2ab，当且仅当a=b时取到等号。22

22a2b2ab2 r中，当且仅当a=b时取到等号。ab，1122ab注意：

1、公式应用的条件

2、等号成立的条件

三、实例分析，深化理解 例

1、求所给下列各式的最小值 （1）ya 1(a3)a31(a3)3235,a3

1当且仅当a3a31a4时，ymin5。a3x22x2(1x1)（2）y2x2ya3(x1)21x11 y2(x1)22(x1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增，当且仅当x11(1x1)x0时，y有最小值1。22(x1)11+总结：想求和的最小值，乘积为定值

例

2、已知正数x、y满足x+2y=1，（1）求xy的最大值（2）求解：（1）1=x+2y22xy，∴xy

1； 8（2）∵x、y为正数，且x+2y=1，1111∴+=（x+2y）（+）xyxy2yx=3++≥3+22，xy当且仅当

22yx=，即当x=2－1，y=1－时等号成立.2xy∴11+的最小值为3+22.（目的：发现同学中的等号不成立的错解）xy总结：想求乘积的最大值，和为定值

四、总结提高，明确要点

五、布置作业，复习巩固

教学反思：加强利用均值不等式及其他方法求最值的练习，在求最大（小）值时，有三个问题必须注意：第一，注意不等式成立的充分条件，即x＞0，y＞0（x+y≥2xy）；第二，注意一定要出现积为定值或和为定值；第三，要注意等号成立的条件，若等号不成立，利用均值不等式x+y≥2xy不能求出最大（小）值.

高中基本不等式教案篇三

《基本不等式》教学设计

教材：人教版高中数学必修5第三章

一、教学目标

1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想； 4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教学过程： 1．动手操作，几何引入的证明过程； 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统

一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条

直角边长为，．于是，那么正方形的边长为4个直角三角形的面积之和正方形的面积由图可知，即

．

．

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

通过学生动手操作，探索发现：2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若若，则，则

． ．

学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）若，则

；（2）若，则

请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：，当（在该过程中，可发现证法二（分析法）：由于要证明 只要证明 即证 即，，该式显然成立，所以，当

时取等号．

时取等号．的取值可以是全体实数），于是

得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若若，则，则

（当且仅当（当且仅当

时，等号成立）时，等号成立）

深化认识： 称为的几何平均数；称

为的算术平均数

基本不等式又可叙述为：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰

探究三：如图，弦，连接． 是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的根据射影定理可得：由于rt中直角边

斜边，于是有当且仅当点 与圆心重合时，即

时等号成立．

故而再次证明： 当时，（当且仅当

时，等号成立）

（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于（1）若，（定值），则当且仅当

时，有最小值；

（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

例2.求变式1.若，求的值域．的最小值．的函数图象，使学生再次感受在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示数形结合的数学思想． 并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

练一练（自主练习）：

1.已知2.设，且，且，求，求的最小值． 的最小值．

5．归纳小结，反思提高 基本不等式：若，则

（当且仅当

时，等号成立）

若，则（当且仅当时，等号成立）

（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法． 媒体展示，渗透思想： 若将算术平均数记为，几何平均数记为

利用电脑3d技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：

平面

在曲面的上方

6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本p100习题

组

1、2题

（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．（3）探究作业： 现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．

《基本不等式》教学设计说明

一、内容和内容解析

本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。

就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

二、教学目标和目标解析

教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。

在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。

学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。

进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。

通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

三、教学问题诊断

在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。

另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式件，同时又要注意区别基本不等式的使用条件为

使用的前提条

。因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。

四、教学支持条件分析

为了能很好地展示几何图形,体会基本不等式的几何背景,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，并用电脑3d技术展示基本不等式的又一几何背景，加深对基本不等式的理解，增强教学效果。

五、教学设计流程图

教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简单最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学活动之中。

六、教法和预期效果分析

本节课通过6个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。

同时，以多媒体课件、几何画板、电脑3d技术作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。

通过这节课的学习，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义充分渗透数形结合的思想；能在教师的引导下，主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题并注意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。