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最简二次根式教学设计篇一
第1课时 二次根式的概念和性质
教学目标 【知识与技能】
1.了解二次根式及最简二次根式的概念.2.会化简二次根式.
3.理解并掌握二次根式的性质.【过程与方法】
经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程,发展学生的归纳概括能力和语言表达能力.【情感、态度与价值观】
积极参与数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体会到数学学习的乐趣.教学重难点 【重点】
理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式.【难点】
化简二次根式.教学过程
一、知识回顾,引入新课
师:同学们还记得平方根的概念吗?
生:记得.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.师:什么叫做算术平方根呢? 生:正数的正的平方根以及零的平方根,统称算术平方根.师:很好!非负数a的算术平方根用(a≥0)表示.一般地,例如(a≥0)的式子,我们叫做二次根式.这就是今天这节课我们要学习的内容.二、讲授新课
师:请同学们观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗? ，，(其中b=24,c=25).生:它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.师:很好!一般地,例如(a≥0)的式子,叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢?下面我们一起来探究一下.请同学们完成以下填空:
=,×=
;=,×=
;= ,×=;=,÷=
.学生独立完成填空,然后集体订正.并根据上面的猜想,估计下列式子是否相等,再借助计算器验证.=,÷=
.师:请同学们比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用字母表示你发现的规律吗? 学生分组讨论交流,然后由小组代表发言,教师予以补充完善.师:通过刚才的探究,我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质.即:(1)积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数),即=·(a≥0,b≥0);
(2)商的算术平方根的性质:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.(被除式必须是非负数,除式必须是正数),即=(a≥0,b>0).师:知道了二次根式的这些性质,下面我们来看几个例题,加深理解.三、例题讲解
【例1】 化简:(1);(2);(3).【答案】(1)=×=9×8=72;(2)=×=5;(3)==.例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.【例2】 化简:(1);(2);(3).【答案】(1)==×=5;(2)===;(3)==.判断最简二次根式的方法:通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后,不含能开得尽方的因数或因式,即为最简二次根式.【例3】 先化简,再求出下面算式的近似值(精确到0.01).(1);(2);(3).(合理应用二次根式的性质,可以帮助我们简化实数的运算.)【答案】(1)===·=12≈20.78;(2)===≈1.01;
(3)===×=10-2×=0.01×≈0.02.四、巩固练习
1.化简: ;(2);(3);(4)
【答案】(1)165(2)4(3)(4)2.化简:-
【答案】 原式=-=.3.若b>0,x
五、课堂小结
师 :通过这节课的学习,同学们有什么收获?能与大家分享一下吗? 学生发言,教师予以点评.第2课时 二次根式的运算(1)
教学目标 【知识与技能】
1.了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.2.会进行简单的二次根式乘除以及加减运算.3.会进行二次根式的四则混合运算.【过程与方法】
让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的.【情感、态度与价值观】 培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯.教学重难点 【重点】
二次根式的乘除以及加减运算.【难点】
熟练地进行二次根式的四则混合运算.教学过程
一、复习归纳
1.二次根式的性质:(1)()2=a(a≥0)(2)=(3=·)(a≥0,b≥0)(4)=(a≥0,b>0)
2.想一想:你能计算吗? (1)×;(2)×;(3)×.师:先计算每组数中的左边的式子,再计算右边的式子.它们相等吗?你发现了什么? 学生先独立完成,然后分组讨论交流,再集体订正.3.提出问题.(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运煤多少吨?
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运煤多少吨?
这是以前学过的多项式加减法,同类项可以合并,想一想在计算二次根式加减法的时候能运用此类方法吗?请尝试计算以下几题.(1)3+4;(2)+;(3)++4.二、讲授新课
1.在学生进行练习后进行总结.①二次根式的乘除运算法则.=·(a≥0,b≥0)=(a≥0,b>0)
即将二次根式的性质等式左右两边对换,就得到二次根式的乘法法则和除法法则.②二次根式的加减运算法则.师:与合并同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并.下列计算结果哪些正确,哪些不正确? +=;a+=a;-=;a+b=(a+b);-=-=0.学生回答,教师予以订正.③二次根式的四则混合运算.二次根式即可以进行乘除运算,也可以进行加减运算.以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.说说下列算式的运算顺序,并计算出结果.(+)·(+)·56 ×+× 2.例题学习.【例1】 计算.(1)×;(2);(3).(归纳二次根式的乘除运算的一般步骤:(1)运用法则,化归为根号内的实数运算;(2)完成根号内乘除运算;(3)化简二次根式.)【答案】(1)×===;(2)==;(3)====.【例2】 计算:(1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2;(4)(+3)(-3);(5)-×;(6)
【答案】(1)3×2=3×2×=6;(2)×-5=-5=-5=6-5=1;
(3)(+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2;(4)(+3)(-3)=()2-32=13-9=4;(5)(-)×=×-×=-=6-1=5;(6)=+=+=2+3=5.【例3】 计算:(1)+;(2)-;(3)(+)×.【答案】(1)+3=+=×+=4+=5;(2)-=-=-=;
(3)(+)×=+=+=2+3=5.三、课堂小结
师:本节课我们学习了哪些知识?还有什么疑惑的地方吗? 师生共同总结.第3课时 二次根式的运算(2)
教学目标 【知识与技能】
1.巩固对二次根式的四则混合运算的掌握.
2.进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【过程与方法】
引导学生从特殊到一般,用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题.【情感、态度与价值观】
体验并掌握迁移、转化等数学思想与方法.教学重难点 【重点】
进一步应用二次根式的运算法则进行二次根式的四则混合运算.【难点】
熟练进行二次根式的四则混合运算.教学过程
一、引入新课
师:通过上节课的学习,同学们已经掌握了二次根式的相关运算法则,这节课我们进一步来学习二次根式的加减乘除混合运算.二、例题讲解
【例1】 先化简,再求出近似值(精确到0.01).--
(二次根式加减运算的一般步骤是:先化简,再合并.)【答案】 原式=--=2--=(2--)=≈1.73.【例2】 计算.(1)-3×;(2)(-3)·;(3)(-)÷.(说明:(1)二次根式混合运算的运算次序是:先乘除,后加减;(2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用;(3)二次根式的运算结果能化简的必须化简.)
【答案】(1)原式=3-6=-3;(2)原式=·-3·=-3=-9;(3)原式=÷-÷=-=4-3=1.【例3】 计算:(1)-;(2)-8+;(3)(-)÷;(4)+-.【答案】(1)-=-=-=;
(2)-+=-+ =3-2+=;
(3)(-)÷=÷-÷ =-=-=-=2-=;
(4)+-=+-=+-3=-+.在上面第(4)题中,很容易看出,化成最简二次根式后与,化简后的被开方数不可能相同,因此,结果中可以保留,不必将它化成最简二次根式.三、课堂小结
师:本堂课我们学到了什么新知识? 学生发言,教师予以补充.
最简二次根式教学设计篇二
二次根式教案设计
一：教学内容分析
本节课是人教版九年级上册第21章二次根式第一节二次根式第一课时的内容，它是前面学习的数的开方的后继学习，也是学习二次根式的运算的基础，他在整个初中阶段起着重要的作用，贯穿始终，为后继学习打下夯实的基础。二：学生情况分析
本节课是在数的开方的有关知识的基础上展开的，有了一定知识基础，并且在勾股定理中有所运用，他们并不陌生，所以只要我们连接好新旧知识，学生很容易接受，加强新旧知识的联系，化为知为已知。
三、教学目标：
1．知识与技能
（1）理解二次根式的概念．（2）二次根式有意义的判定．
2．过程与方法
（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出二次根式概念．
（2）再对概念的内涵进行分析，得出二次根式成立的条件，并运用这一条件进行二次根式有意义的判断．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习培养学生：准确归纳概念的科学精神，经过探索二次根式是否有意义，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
四、教学重难点
1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点：利用“（a≥0）”解决具体问题．
五、教学方法
启发式教学法
六、教学过程 导入新课（问题导入）
请同学们独立完成下列三个问题： 问题
1、7的算术平方根是（）。
问题
2、直角三角形的两条直角边分别为5和4，斜边为（）。问题
3、正方形的面积为s，则它的边长为（）。推进新课
一、二次根式的定义
很明显√
7、√
41、√s都是一些正数的算术平方根。像这样一些正数的算术平方根的式子。我们就把它称为二次根式。因此，一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。想一想：为什么一定要加上a≥0这一条件？
教师引导学生说出只有正数和零才有平方根，负数没有平方根。议一议：（1）-1有算术平方根吗？（2）0的算术平方根是多少？（3）当a＜0时，√a有意义吗？
说明：负数没有平方根，更没有算术平方根。（4）√a表示什么含义？
目的：让学生了解算术平方根与二次根式的联系。
二、应用迁移
1、对二次根式概念的考查
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
√
2、√
3、1/x、√x（x≥0）、√0、-√
2、1/（x+y）、√x+y（x≥0、y≥0）
分析：看是否为二次根式，关键看是否满足√a（a≥0）的形式。解：略
点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是非负数。
2、对二次根式被开方数范围的考查 当x为多少时，√3x-1在实数范围内有意义？
分析：有二次根式的定义可知。被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，√3x-1在实数范围内有意义。解：由3x-1≥0，得x≥1/3，当x≥1/3时，√3x-1在实数范围内有意义。
点拨：要使二次根式有意义，必须满足被开方数要大于或等于0.三、巩固提高
1、下列式子中，是二次根式的是（）a、-√7 b、三次根号7 c、√x d、x
2、当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）√x-3 ；（2）√2/3-4x ；（3）√-5x ；（4）√/x/+1
四、本课小结 本节要掌握：
1、形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。
2、要使二次根式有意义，必须满足被开方数要大于或等于0.
五、教学反思
1：本节课从旧知识引入，降低难度，激发了求知欲，和进一步探索的欲望。
2：本节课重点培养了学生的思维能力，使学生真正理解概念。3：学生用字母表示数还不熟练还有一部分同学错误认为a表示正数，-a表示负数。所以还应加强符号教学。
4：对以前的完全平方式运用欠佳，所以应加强知识之间的综合运用能力。
最简二次根式教学设计篇三
二次根式的除法
一、教学目标
1．掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算；
2．会进行简单的二次根式的除法运算;
3．使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题；
4.培养学生利用二次根式的除法公式进行化简与计算的能力；
5.通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力；
6.通过分母有理化的教学，渗透数学的简洁性.
二、教学重点和难点
1．重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行．
2．难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用．
三、教学方法 从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节
内容可引导学生自学，进行总结对比．
四、教学手段
利用投影仪．
五、教学过程
(一)引入新课
学生回忆及得算数平方根和性质：（a≥0，b≥0）是用什么样的方法引出的？(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的．)
学生观察下面的例子，并计算： 由学生总结上面两个式的关系得：
类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：
(二)新课
商的算术平方根．
一般地，有（a≥0，b＞0）
商的算术平方 根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 让学生讨论这个式子成立的条件是什么？a≥0，b＞0，对于为什么b＞0，要使学生通过讨论明确，因为b＝0时分母为0，没有意义．
引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算．
例1 化简：
说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数；本节根号下的字母均为正数.例2 化简：
让学生观察例题中分母的特点，然后提出，的问题怎样解决？
再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况，的问题，我们将在今后的学习中解决.学生讨论本节课所学内容，并进行小结．
(三)小结
1．商的算术平方根的性质．(注意公式成立的条件)
2．会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简．
四、练习
五、小结
六、作业 教材p10习题16．2 第1、2、4题．
七、板书设计
最简二次根式教学设计篇四
二次根式教学设计
一：教学内容分析
本节课是人教版九年级上册第21章二次根式第一节二次根式第一课时的内容，它是前面学习的数的开方的后继学习，也是学习二次根式的运算的基础，他在整个初中阶段起着重要的作用，贯穿始终，为后继学习打下夯实的基础。二：学生情况分析
本节课是在数的开方的有关知识的基础上展开的，有了一定知识基础，并且在勾股定理中有所运用，他们并不陌生，所以只要我们连接好新旧知识，学生很容易接受，加强新旧知识的联系，化为知为已知。三：教学目标与重难点
教学目标
1：了解二次根式的概念
2：理解二次根式有意义的条件
3：使学生学会从特殊道一般的方法，培养观察，归纳，演绎能力。
4：通过新旧知识的联系，机房学生的求知欲，和进一步探索的兴趣，培养学生独立学习能力，进而体验成功的喜悦。
教学重点
二次根式的概念
教学难点
二次根式有意义的条件 四：教学活动
（一）：复习数的开方的有关知识
（二）：探究新知
1：学生做书中思考：（1），（2），（3），（4）
2：讨论思考中的书有什么共同特点？
3：得出结论：一般的把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
4：讨论：a≥0?
5:通过讨论负数没有算术平方根，从而得出a≥0
老师总结：a≥0是二次根式概念的组成部分，否则二次根式没有意义。
（三）：巩固新知
例1：
下列各式一定是二次根式的是（）
a:√-13
b:√5x
c::√x2
d:√x-12
例2：当x是怎样的实数时，下列格式在实数范围内有意义？
（1）:√x-2
(2)√1/x-2(3)√2-x
+√x-1
例3：若a为任意实数，则下列各式一定有意义的是（）
a:√a
b:√-a2
c:√(a+1)2
d:√1/a2
例4：已知y=√5-x
+√x-5 +3
求xy的值。
（四）:
巩固新知
1：x取什么值时，下列格式有意义？
√2x-5
(2)√1/2x-7
(3)√-x2-2x-1
(4)√x2-2x+3
(5)√1-x
+√x-1
2:已知实数x,y满足x=√y-3
+√3-y +2
求xy的值。五：教学反思
1：本节课从旧知识引入，降低难度，激发了求知欲，和进一步探索的欲望。
2：本节课重点培养了学生的思维能力，使学生真正理解概念。
3：学生用字母表示数还不熟练还有一部分同学错误认为a表示正数，-a表示负数。所以还应加强符号教学。
4：对以前的完全平方式运用欠佳，所以应加强知识之间的综合运用能力。
最简二次根式教学设计篇五
二次根式这节课的重点是了解二次根式的定义，会判断一个根式是不是二次根式，难点是二次根式成立的条件，和利用进行计算。
通过课前备学生，我了解到，学生接受起来并不是太顺利，所以，这一节课我进行了两块的内容，一是二次根式的定义，理解它并会用定义进行判断；二是二次根式成立的条件，让学生掌握如何使二次根式有意义并会正确书写步骤。
通过上课，这两个目标达成就算不错了。
这节课是以前面学习的平方根与算术平方根为基础的，所以学习定义之前，先复习了平方根的定义，平方根的性质以及算术平方根的定义，并举例让学生理解，温故知新，通过复习，发现学生已经忘记了这些知识，所以复习很有必要。复习过后就学习了二次根式的定义，对于定义，我是这样处理的，定义的内容：形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数。
这是一个描述性定义，可以从以下几方面理解：
（1）从形式上看，二次根式必须含有根号“ ”。这里要举例说明。（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。如果是数，则必须是非负数；如果是代数式，则这个代数式的值必须是非负数，否则无意义。这里也要举例说明，举一些是二次根式的，举一些不是二次根式的，让学生进行判断。（3）式子既是二次根式，又是非负数a的算术平方要，所以它具有双重非负性：①被开方数a≥0，（这是使 有意义的条件）；② ≥0，这是由算术平方根的意义所决定的。
（4）也是二次根式，它表示b与 相乘，如果b是带分数，则必须化成假分数。如 不能写成，而应该写成。
将这些分析透彻后，举出了一部分例子，进行了判断，如：，特别的，对进行了详细的分析，让学生正确利用定义进行判断。然后又进行了一些练习，点拨练习
1、2、3。
接下来重点进行了确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围这一知识点。
这里面要掌握一点，那就是若一个式子是二次根式，则它的被开方数一定是非负数，利用这一条件能确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围。
特别的，含有分母的二次根式取值时易忽略分母不能为零这一条件。
由于取值范围的确定与不等式（组）有关，所以，在学习之前又进行了不等式的性质及解法进行了复习，因为前几天让学生复习过，且一直在温习，所以这一点学习并没有感觉到困难。
先进行了示范：当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
其中重点说了后两个，就是取值范围确定时要保证分母不为零。步骤学习点拨186页例2，或参照课本124页例1.随后进行了练习，基础训练上的第4题，学生上黑板，效果不错。至于有关的计算，分解因式等内容，放在了下一课时，我觉得比较妥当，学生有了基础，才好理解。
这是这一节课的一点想法。
最简二次根式教学设计篇六
二次根式教学案例
一、案例背景：
本节是九年级上学期数学的起始课。二次根式的学习，是对代数式的进一步学习。本节主要经历二次根式的发生过程及对二次根式的理解。掌握求二次根式的值和二次根式根号内字母的取值范围。为以后的运用二次根式的运算解决实际问题打好基础。
二、案例描述：
1、学习任务分析：
通过对数和平方根、算术平方根的复习，鼓励学生经历观察、归纳、类比等方法理解二次根式的概念。在解决实际问题的时候，注意转化思想的渗透。体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。比如求二次根式根号内的字母的取值范围，就是将问题转化为不等式来解决。注意学生数学书写格式的规范，为以后的学习打好基础。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用复习以前学过的知识导入新课。设计合作学习活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。
2、学生的认知起点分析：
学生已掌握数的平方根和算术平方根。这为经历二次根式概念的发生过程做好准备。另外，学生对数的算术平方根的理解作为基础，经历跟此根式概念的发生过程，引导学生对二次根式概念的理解。
案例反思：
1.下列代数式若能作为二次根式的被开方数，则求出字母的取值范围？若不能，则说明理由。1-2a-2a2-1(2+a)2-(a-5)2
以往对这类问题的回答都是全班回答，有些学生反面信息不能体现出来。采取的措施是全班举手势回答，可以做二次根式的被开方数举“布”，若不能举“拳头”。使班级能够全面参与，避免集体回答所体现不出的问题。
2.合作活动：
第一位同学——出题者：请你按表中的要求写完后，按顺时针方向交给下一位同学；
第二位同学——解题者：请你按表中的要求解完后，按顺时针方向交给下一位同学；
第三位同学——批改者：请你用蓝笔批改，若有错误，请与解题者商议并请其订正，完成交给你信任的同学用红笔复；
第四位同学——复查者：请你一定要把好关哦！
出题者姓名： 解题者姓名：
第一个二次根式： 1.要使式子的值为实数，求x的取值范围.2.写出x的一个值，使式子的值为有理数，并求出这个有理数。3.写出x的一个值，使式子的值为无理数，并求出这个无理数。
第二个二次根式： 1.要使式子的值为实数，求x的取值范围。2.写出x的一个值，使式子的值为有理数，并求出这个有理数。3.写出x的一个值，使式子的值为无理数，并求出这个无理数。
批改者姓名： 复查者姓名：
《课程标准》突出了学生在学习中的地位--学生是学习的主人，同时，教师的地位、角色发生了变化，从 “ 主导 ” 变成了 “学生学习活动的组织者、引导者和合作者 ”。合作活动的安排就是对这一课程标准的体现。
