1.3.1函数的单调性与最值教案 函数的单调性与最值教学目标(4篇)

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1.3.1函数的单调性与最值教案 函数的单调性与最值教学目标篇一

教学目标

知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。

能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：

教学重点：函数单调性的有关概念的理解

教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性

教 具： 多媒体课件、实物投影仪

教学过程：

一、创设情境，导入课题

[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：

问题1：气温随时间的增大如何变化？

问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

[引例2]观察二次函数的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。

结论：（1）y轴左侧：逐渐下降； y轴右侧：逐渐上升；

（2）左侧 y随x的增大而减小；右侧y随x的增大而增大。

上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。

二、给出定义，剖析概念

①定义：对于函数f(x)的定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当图3）；

⑵若当图4）。

)>f（）,则f(x)在这个区间上是减函数（如

)

),则f(x)在这个区间上是增函数（如

②单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。

注意：

（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

当x1 f(x2)y随x增大而减小。

几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升；递减 函数图象从左到右逐渐下降。

（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。

有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。

判断2：定义在r上的函数 f(x)满足 f(2)> f(1)，则函数 f(x)在r上是增函数。（×）

函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，不能用特殊值代替。

训练：画出下列函数图像，并写出单调区间：

三、范例讲解，运用概念

具有任意性，例1、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数出函数。的单调区间，以及在每一单调区间上，函数的图象，根据图象说

是增函数还减

注意：

（1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。

（2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。

例2 判断函数 f(x)=3x+2 在r上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程：

证明：设任意的由

于是

即

所以。

在r上是增函数。，得，且，则

分析证明中体现函数单调性的定义。

利用定义证明函数单调性的步骤：

①任意取值：即设x

1、x2是该区间内的任意两个值，且x1

②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形

③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号

④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差

0，则为减函数）

即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”

例

3、证明函数

证明：设，且

在(0,+)上是减函数.，则

由

又由

于是

即。，得，得即

（*）。

所以，函数

问题1 ：

在区间

在上是单调减函数。

上是什么函数？(减函数)在定义域

上是减函数？（学生讨论

问题2 ：能否说函数得出）

四、课堂练习，知识巩固

课本59页 练习：第1、3、4题。

五、课堂小结，知识梳理

1、增、减函数的定义。

函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。

2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明：

证明的步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。

六、布置作业，教学延伸

课本60页习题2.3 ：第4、5、6题。

1.3.1函数的单调性与最值教案 函数的单调性与最值教学目标篇二

数学必修一

§1.3.1函数的单调性

姓名：吴志强

班级：统计08-2班 院系：数学与统计学院

学号：08071601021 §1.3.1函数的单调性

一、教学目标

1)通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数性质 2)理解函数单调性的定义及单调函数的图像特征

3)能够熟练的应用定义判断函数在某一区间的单调性

4)通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质

二、教学重点

函数单调性的定义及单调函数的图像特征

三、教学难点

利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性

四、教学与学法

启发式教学，充分发挥学生的主体作用

五、教学过程

(一)引入

如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，教师提问：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的？在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？

教师指出：上面两种现象都是单调性现象。那么，在数学上我们如何定义函数的单调性呢？

(二)作出下列函数的图像

 图像1 y2x1在r上，y随x的增大而增大，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为上升）称为增函数

 图像2 y2x1在r上，y随x的增大而减小，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为下降）称为减函数  图像3

yx2以对称轴，左侧下降，右侧上升

在(,0]上，y随x的增大而减小，得出函数在此区间为减函数 在(0,]上，y随x的增大而增大，得出函数在此区间为增函数

问：如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？ 以yx2为例，在(0,]上任取x1，都有x1x2

22、x2，则

f(x1)x12，f(x2)x22，对任意的0x1x2xx2，所以在区间(0,]上，对任意的1都有f(x1)f(x2)2，即yx在(0,]上，当x增大时，函数值f(x)相应随之增大，得出yx2在(0,]上为增函数

2在区间(,0]上同理推得yx

（三）定义

为减函数

一般的设函数f(x)的定义域为i

a)如果对于定义域i内某一区间d上任意两个自变量的值

1、2，当都有f(x1)f(x2)xxx1x2时，，那么说函数f(x)在区间d上为增函数

xxx1x2b)如果对于定义域i内某一区间d上任意两个自变量的值

1、2，当都有

f(x1)f(x2)时，那么说函数f(x)在区间d上为减函数

（四）单调性、单调区间定义：

如果函数yf(x)在这一区间d上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这区间具有（严格的）单调性，区间d为yf(x)的单调区间

（五）举例

例

1、如图，yf(x)在定义在[5,5]的函数，根据图像说出函数的单调区间，以及每一单调区间上它为增函数还是减函数。

解：单调区间[5,2],[2,1],[1,3],[3,5]

[5,2],[1,3]为减函数，[2,1],[3,5]为增函数

注意：

a)书写时，区间与区间用逗号隔开，不能用“”链接

b)对于孤立点，没有单调性，所以区间端点处如有定义，写开闭均可 c)函数为增函数、减函数是对定义域内某一区间而言的例

2、证明f(x)2x3在r上为单调减函数 证明：

设x1，x2是r上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+3)-(-2x2+3)=-2(x1-x2)x1x2x1x20-2(x1x2)0f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)函数f(x)2x3在r上为单调减函数

小结：证明函数单调性的步骤 a)设值，设任意的1、b)作差变形，xx2，且

x1x2

f(x1)-f(x2)变形常用的方法有：因式分解、配方、有理化等的正负 c)判断差符号，确定

f(x1)-f(x2)d)下结论，由定义得出函数的单调性

（六）课堂练习证明f(x)x在[0,+]是增函数证明：设x1,x2[0,+),且x1x2则f(x1)-f(x2)=x1-x2=x1-x21(x1-x2)(x1(x1x20x2)x2)x1-x2x1+x2(对分子有理化详细讲解）又0x1

给学生时间做ｐ32练习4

解： 设x1，x2是r上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+１)-(-2x2+１)=-2(x1-x2)x1x2x1x20-2(x1x2)0f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)函数f(x)2x1在r上为单调减函数

（七）课堂小结

a)增函数、减函数的定义 b)图像法判断函数的单调性

（由左到右上升，为增函数，由左到右下降，为减函数）c)证明单调函数的步骤

（设值…………作差变形………….判断差符号………..下结论………..）

（八）作业

p39习题1、3a组

1、题2

判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？

1.3.1函数的单调性与最值教案 函数的单调性与最值教学目标篇三

长垣一中学生课堂导学案提纲编号：高二数学7一轮复习（2013-7-18）编制：审核：高二文数数学组

函数单调性及最值 复习学案

班级：姓名：小组：评价：【考纲要求】

1.了解韩式单调性的概念；

2.掌握判断一些简单函数单调性的方法；

3.了解函数最值的定义，掌握求函数最值的基本方法。 【学习重点】函数单调性的判断方法 【学习难点】函数的最值的求法 【课堂六环节】

一、“导”------教师导入新课（2分钟）

二、“思”------自主学习。学生结合下列知识点自主学习（背公式，做题）.复习要点

一、函数的单调性

二、判定函数单调性的常见方法

（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。

（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论：

①函数yf(x)与函数yf(x)的单调性相反②函数y(x)恒为正或恒为负时，函数y

f(x)

与yf(x)的单调性相反。

③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等

2．单调区间的定义

若函数f(x)在区间d上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，f(x)的单调区间．

三、函数的最值 （1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。

（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法

（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。典例剖析：

题型1：判断函数的单调性 例1 证明函数f(x)x

1x

在(0,1)上为减函数。

变式1.讨论函数f（x）=x+a

x

（a＞0）的单调性.例2．已知函数f(x)=x

2+2ax+2，x∈[-5，5].（1）当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5，5]上是单调函数.变式2.求函数y=log1（4x-x2）的单调区间

.例3.已知f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围。

题型2：求函数的最值

例4 求函数y=4-32xx2的最值;

变式3.求函数y=x+

4x的最值

题型3：已知函数的单调性，求参数的范围

例4．已知函数f(x)= |2x+a|的单调递增区间是3,，则a=

ax,(x变式4.已知f(x)

1)是r上的单调递增函数，则a的取值范围是（）

(4a

2)x2,(x1)a(1,+)b4,8c(4,8)d(1,8)

三、“议”------（8分钟）

四、“展”------（8分钟）

五、“评”------（8分钟）

六、“检”------（4分钟）。 【当堂检测】

1、在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

（）

a．y=2x＋1 b．y=3x2＋

1c．y=

2x

d．y=2x

2＋x＋1

2、函数yx22x在[1，2]上的最大值为（）

a、1b、2c、-1d、不存在3、函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于（）

a．－7

b．1 c．17 d．2

54．函数y=x

2+bx+c(x∈[0，+）)是单调函数，则b的取值范围是（）.a．b0b．b0c．b>0d．b



2x＋6，x∈[1，2])

x＋7，x∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为(a．10,6b．10,8c．8,6d．以上都不对

6.已知函数y=f(x)是定义在r上的增函数，则f(x)=0的根（）a.有且只有一个b.有2个

c.至多有一个d.以上均不对

若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是（）

a.［-3，-1］b.（-∞，-3］∪［-1，+

∞）c.［1，3］

d.（-∞，1］∪［3，+∞）

函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a、b、c∈r，则a2-3b＜0时，f(x)是（）

7.8.

a.增函数b.减函数

c.常数函数d.单调性不确定的函数

8.已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x.构造函数y=f(x),定义如下：当f(x)≥g(x)时，f(x)=g(x);当

9.f(x)=ln(4+3x-x)的单调递减区间是（）a.（-∞,］

f(x)＜g(x)时，f(x)=f(x),那么f(x)()a.有最大值3，最小值-1b.有最大值3，无最小值 c.有最大值7-27，无最小值d.无最大值，也无最小值

9.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是.10.已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.

b.［，+∞）

c.（-1，］

d.［，4）

4.已知函数f（x）在区间［a，b］上单调，且f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间［a，b］上（）a.至少有一实根b.至多有一实根c.没有实根

d.必有惟一的实根

5.函数y=lg(x+2x+m)的值域是r,则m的取值范围是（）a.m＞1b.m≥

1c.m≤

1d.m∈r

6.函数f(x)(x∈r)的图象如下图所示，则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是（）a.［0,］b.（-∞,0）∪［，+

∞）c.［a,1］d.［a,a1］7.已知f(x)=

(3a1)x4a

logax

(x1)(x1)

1212

是（-∞,+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）

a.（0，1）

b.（0，）c.［，）

1713

d.［，1）

1.3.1函数的单调性与最值教案 函数的单调性与最值教学目标篇四

函数的单调性与极值教案

目的要求

1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.

2.弄清函数极值与最值的区别与联系.

3.养成整体思维的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.

内容分析

1.教科书结合函数图象，直观地指出函数最大值、最小值的概念，从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法.

2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的.

3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a，b]上有定义，是为了保证函数在[a，b]内有最大值和最小值;在(a，b)内可导，是为了能用求导的方法求解.

4.求函数最大值和最小值，先确定函数的极大值和极小值，然后，再比较函数在区间两端的函数值，因此，用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键.

5.有关函数最值的实际应用问题的教学，是本节内容的难点.教学时，必须引导学生确定正确的数学建模思想，分析实际问题中各变量之间的关系，给出自变量与因变量的函数关系式，同时确定函数自变量的实际意义，找出取值范围，确保解题的正确性.从此，在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法求导法.依教学大纲规定，有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数，而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数.

教学过程

1.复习函数极值的一般求法 ①学生复述求函数极值的三个步骤.②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题.2.提出问题(用字幕打出)

①在教科书中的(图2-11)中，哪些点是极大值点?哪些点是极小值点?

②x=a、x=b是不是极值点?

③在区间[a，b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?

④一般地，设y=f(x)是定义在[a，b]上的函数，且在(a，b)内有导数.求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，你认为应通过什么方法去求解?

3.分组讨论，回答问题

①学生回答：f(x2)是极大值，f(x1)与f(x3)都是极小值.②依照极值点的定义讨论得出：f(a)、f(b)不是函数y=f(x)的极值.③直观地从函数图象中看出：f(x3)是最小值，f(b)是最大值.(教师在回答完问题①②③之后，再提问：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢?)

④与学生共同讨论，得出求函数最值的一般方法：

i)求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);

ii)将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.4.分析讲解例题

例4 求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值.板书讲解，巩固求函数最值的求导法的两个步骤，同时复习求函数极值的一般求法.例5 用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖小箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(教科书中图2-13).问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积为多少?

用多媒体课件讲解：

①用课件展示题目与水箱的制作过程.②分析变量与变量的关系，确定建模思想，列出函数关系式v=f(x)，xd.③解决v=f(x)，xd求最值问题的方法(高次函数的最值，一般采用求导的方法，提醒学生注意自变量的实际意义).④用几何画板平台验证答案.5.强化训练

演板p68练习

6.归纳小结

①求函数最大值与最小值的两个步骤.②解决最值应用题的一般思路.布置作业

教科书习题2.5第4题、第5题、第6题、第7题.