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杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸
2018 年 考试科目代码 726 考试科目名称 量子力学 （本考试科目共 2 页，第 1 页）
杭 州 师 范 大 学
2018 年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码： 726
考试科目名称： 量子力学
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
一、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1.一维自由粒子的哈密顿量为 ，满足的含时薛定谔方程是 。
2. 电子的自旋大小是 ，属于 。（填“玻色子”或“费米子”）
3. 设粒子处在归一化波函数 上， 为球谐函数，则系
数 （设为实数）的取值为 。
4. 对于 Pauli 矩阵， ， 。
5.力学量完全集是由一组 且 的厄米算符组成。
6. 碱金属原子光谱的双线结构产生的原因是 。
二、简答题（每题 5 分，共 20 分）
1. 统计诠释对波函数提出的四个要求分别是什么？
2. 什么是简并？三维各向同性谐振子的能级及其简并度如何？
3. 波粒二象性是指什么？请写出德布罗意物质波的表达式。
4. 全同粒子分为哪几类？具体分类依据是什么？
三、计算题（每题 20 分，共 80 分）
1. 质量为 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：
杭 州 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 命 题 纸
2018 年 考试科目代码 726 考试科目名称 量子力学 （本考试科目共 2 页，第 2 页）
(1) 求解能量本征值 和归一化的本征函数 ；(2) 若已知 时，该粒子状
态为 ，求 时刻该粒子的波函数；(3) 求 时刻测量到粒子
的能量分别为 和 的几率是多少？
2. 在 表象下，计算 的本征值和归一化本征矢。（ 是两实常数。）
3. 设一谐振子处于基态，已知其 基态波函数为： ，其中
，求它的 , ,并验证测不准关系。
[已知： ， ]。
4. 已知能量本征态 满足 ，其中 。在该本征态下计算 ， ，其
中 。
四、证明题（每题 15 分，共 30 分）
1.在一个可归一化的波函数 下，证明 。
2. 证明（1） ；（2） 。
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