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天津理工大学 2016 年硕士研究生复试考试大纲
一、考试科目：实变函数
二、考试参考书目：（第三版）第一册，高等教育出版社，2005.04。
作者：郑维行、王声望编，
三、考试采用笔试方式，考试时间为 120 分钟，试卷满分为 100 分。
四、试卷结构与分数比重:
试卷共分为三部分：填空题、选择题、计算与简证明题
五、考查的知识范围与要求:
（一）、集合及其运算
考查内容
1 集合及其运算；
2 映射.集的对等.可列集；
3 一维开集、闭集及其性质；
4 开集的构造；
5 n 维欧几得空间大意；
6 集的势。
考查要求
1.理解集合、映射、集的对等、可列集及连续集等概念；
2.会进行集合的运算，并掌握可列集的常用性质；
3.掌握一维开集、闭集性质和结构；
4.理解 n 维欧氏空间开集和闭集的结构和点集的距离，会用分离性定理；
5.理解势的概念，会简单应用伯恩斯坦定理；
6.握康脱集的构造和简单性质。
（二）、 勒贝格测度
考查内容
1.有界集的内、外测度、可测集；
2.可测集的性质；
3.无界可测集与多维可测集的概念；
4.环上定义的测度。
考查要求
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1.掌握有界开集、闭集测度的定义和有界集内、外测度的概念及有界集内外测度的简单性质；
2. 掌握有界可测集定义，理解无界可测集的概念；
3.掌握可测集的基本性质，会使用这些性质；
4.理解多维点集测度的概念，了解不可测集的存在性；
5.了解环上定义的测度。
（三）、可测函数
考查内容
1.可测函数的基本性质；
2.可测函数列的收敛性；
3.可测函数的构造.
考查要求
1.理解可测函数的概念和它的等价条件及简单函数的可测性；
2.理解上下极限、连续函数、几乎处处、近一致收敛、依测度收敛等概念；
3.理解简单函数与可测函数间的关系，掌握可测函数的基本性质；
4.掌握可测函数列的几种收敛的性质和它们的运算性质及可测函数与可测函数列的关系；
5.理解叶果洛夫定理、里斯定理、鲁津定理并会应用它们；
6.掌握直线上有界可测集上的可测函数与直线上连续函数的关系。
（四）、 积分理论
考查内容
1.勒贝格积分概念；
2.积分的性质；
3.积分序列的极限；
4.R 积分与 L 积分的比较；
5.微分与积分。
考查要求
1.理解简单函数的 Lebesgue 积分、一般可测函数的 Lebesgue 积分及无界集上的 Lebesgue 积
分的概念；
2.掌握 Lebesgue 积分的基本性质并会应用基本性质计算；
3.理解 Lebesgue 积分的三大定理（法杜引理、勒维引理及 Lebesgue 控制收敛定理），会应用
Lebesgue 积分的三大定理证明和计算；
4.理解 Lebesgue 积分与黎曼积分的区别与联系.
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5. 理解囿变函数的概念和它可表示两个单调函数差的充要条件；
6．理解 ba, 上绝对连续函数的概念和它的充要条件。
（五）、 函数空间 P
L
考查内容
1.
P
L 空间.完备性；
2.
P
L 空间的可分性.
考查要求
1. 理解
P
L 空间的概念和它的完备性；
2. 了解
P
L 空间的可分性.
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