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719 综合考试 参考书目及考试大纲
一、 适用专业（领域）：
生物数学
二、 参考书目：
王高雄. 常微分方程（第三版），北京：高等教育出版社，2006.
李小平. 概率论与数理统计，北京：中国农业出版社，2007.
三、 基本题型及所占分值：
1、填空题，占 20 分；
2、计算题，占 50 分；
3、理论分析证明题，占 40 分；
4、应用题，占 40 分。
四、 知识考查范围：
（一）概率论与数理统计部分(占 90 分)
1、随机事件及概率
(1) 理解样本空间、随机事件的概念，掌握事件之间的关系及运算。
(2) 理解概率的统计定义，古典定义，几何公理化定义，会利用古典定义，
几何定义计算简单事件的概率。
(3) 掌握概率的基本性质，并会用这些性质计算概率。
(4) 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理，全概公式，Bayes
公式。
（5）理解事件独立性的概念，掌握 Bernoulli 概型及二项式概率计算公式。
2、随机变量与分布函数
(1) 理解随机变量的概念，离散型随机变量及分布律的概念与性质，连续型
随机变量及密度函数的概念与性质。
(2) 理解分布函数的概念与性质，会利用概率分布计算有关事件的概率。
(3) 掌握二点分布，二项分布，几何分布，泊松分布，超几何分布，均匀分
布，正态分布与指数分布。
(4) 理解多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的联合分布函数，二维离
散型随机变量的联合分布律及其性质，二维连续型随机变量的联合密度函数及其
性质，并会计算有关事件的概率。
(5) 掌握二维随机变量的边缘分布及条件分布。理解随机变量独立性的概
念，并会进行判断。
(6) 掌握一维及二维随机变量函数的分布的求法。
3、随机变量的数学特征与特征函数
(1) 理解数学期望、方差的概念，掌握它们的性质与计算，掌握二项分布，
几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布的数学期望与方差。
(2) 理解协方差、相关系数的概念、性质与计算。
4、大数定律与中心极限定理
(1) 理解大数定律的概念，掌握车贝晓夫大数定律，贝努里大数定律，泊松
大数定律和马尔可夫大数定律。
(2) 理解中心极限定理的概念，掌握独立同分布的中心极限定理，
Demoiver-Laplace 中心极限定理，了解林德贝格-Feller 中心极限定理。
(3) 理解随机变量序列的以概率收敛，以分布收敛以概率 1 收敛的概念以及
这几种收敛之间的关系。
5、数理统计的基本概念
(1) 理解总体、样本、统计量的概念，掌握样本矩的数学期望与方差。
(2) 理解次序统计计量、经验分布函数的概念。
(3) 掌握 χ 2－分布，t－分布，F－分布，掌握正态总体样本均值、样本方
差的抽样分布。
6、参数的点估计
(1) 理解参数的矩估计量、最大似然估计量的定义，掌握矩估计量、最大似
然估计量的求法。
(2) 理解估计量的无偏性、有效性、相合性定义。
(3) 掌握一个正态总体参数的区间估计，两个正态总体均值差，方差比的区
间估计。
7、假设检验
(1) 理解假设检验的基本概念，知道两类错误及犯两类错误的概率。
(2) 掌握单个正态总体均值及方差的检验方法。
(3) 两个正态总体均值与方差的假设检验。
（一）常微分方程部分（占 60 分）
1、绪论
(1) 理解常微分方程的一些基本概念：常微分方程；阶数；线性与非线性；
解、隐式解、通解、特解；一阶方程的积分曲线和方向场。与客观世界中某些实
际问题的关系。
(2) 了解一阶方程及其解的几何意义。
2、一阶微分方程的初等解法
(1) 掌握变量分离方程、齐次方程及可化为变量分离方程的解法。
(2) 掌握一阶线性方程、贝努利方程的解法。
(3) 掌握恰当方程的解法及求积分因子的方法。
3、解的存在和唯一性定理
(1) 理解和掌握存在唯一性定理及其证明。
(2) 会求方程的近似解并估计其误差。
4、高阶微分方程
(1) 掌握齐线性方程解的性质和通解的结构。
(2) 熟练掌握常系数线性方程的求解。
(3) 会求尤拉方程的通解。
(4) 会用降价法求高阶方程的解。
(5) 掌握二阶线性方程的幂级数解法。
5、线性微分方程组
(1) 理解一阶线性方程组的存在唯一性定理。
(2) 理解线性方程组解的性质。
(3) 掌握线性方程组通解的结构，会用常数变易法求非齐线性方程组的一个
解向量。
(4) 会求常系数线性方程组的基解矩阵及 expAt。
李小平
2014 年 6 月 21 日
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