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中国地质大学研究生院
硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲
一、考试性质
数学分析是数学专业本科生的基础课程之一,是数学专业研究生入学考试的必考课程。本考试大纲适
用于中国地质大学研究生院数学系硕士研究生入学《数学分析》考试。它的主要目的是测试考生对数学分
析各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
二、考试的基本要求
要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论,掌握数学分析的基本思想和方法。要求考
生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方法和考试时间
数学分析考试采用闭卷笔试形式,试卷满分为 150 分,考试时间为 180 分钟。
四、考试内容和考试要求
1、极限和函数的连续性
考试主要内容
映射与函数;数列的极限、函数的极限;连续函数、函数的连续性和一致连续性;中的点集、实数系
的连续性;函数和连续函数的各种性质。
考试要求
(1)熟练掌握数列极限与函数极限的概念;理解无穷小量的概念及基本性质。
(2)掌握极限的性质及四则运算性质,能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。
(3)熟练掌握实数系的基本定理:区间套定理,确界存在定理,单调有界原理,Bolzano-Weierstrass
定理,Heine-Borel 有限覆盖定理,Cauchy 收敛准则;并理解相互关系。
(4)熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用函数连续的四则运算与复合运算性
质以及相对应的;并理解两者的相互关系。
(5)熟练掌握闭区间上连续函数的性质:有界性定理、最值定理、介值定理;了解 Contor 定理。
2、一元函数微分学
考试主要内容
微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义;求导运算;微分运算;微分中值定理;洛必达法则、泰勒
展式公式;导数的应用。
考试要求
(1)理解导数和微分的概念及其相互关系,理解导数的几何意义和物理意义,理解函数可导性与连续性之
间的关系。
(2)熟练掌握函数导数与微分的运算法则,包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则,会求分段函数
的导数。
(3)熟练掌握 Rolle 中值定理,Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理以及 Taylor 展式。
(4)能够用导数研究函数的单调性、极值,最值和凸凹性。
(5)掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
3、一元函数积分学
考试主要内容
定积分的概念、性质和微积分基本定理;不定积分和定积分的计算;定积分的应用;广义积分的概念和广
义积分收敛的判别法。
考试要求
(1)理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式,换元积分法和分部积分法,会求初等函数、有理函
数和三角有理函数的积分。
(2)掌握定积分的概念,包括 Darboux 和,上、下积分及可积条件与可积函数类。
(3)掌握定积分的性质,熟练掌握微积分基本定理,定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。
(4)能用定积分表达和计算如下几何量与物理量:
平面图形的面积,平面曲线的弧长,旋转体的体积与侧面积,平行截面面积已知的立体体积,变力做
功和物体的质量与质心。
(5)理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法,Abel 判别法和 Dirichlet 判别法;
其中包括积分第二中值定理。
4、无穷级数
考试主要内容
数项级数的概念、数项级数敛散的判别法;级数的绝对收敛和条件收敛;函数项级数的收敛和一致收敛及
其性质、收敛性的判别;幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。
考试要求
(1)理解数项级数敛散性的概念,掌握数项级数的基本性质。
(2)熟练掌握正项级数敛散的必要条件,比较判别法,Cauchy 判别法,D‘Alembert 判别法与积分判别法。
(3)熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的 Leibnitz 判别
法。掌握绝对收敛级数的性质。
(4)熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的 Weierstrass 判别法。Abel 判别法、C
auchy 判别法和 Dirichlet 判别法。
(5)掌握幂级数及其收敛半径的概念,包括 Cauchy-Hadamard 定理和 Abel 第一定理。
(6)熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公示。
(7)了解 Fourier 级数的概念与性质。
5、多元函数微分学与积分学
考试主要内容
多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的概念、重积分的概念及其性质、重积分的计算;曲线积分和曲
面积分;反常积分的定义和判别。
考试要求
(1)理解多元函数极限与连续性,偏导数和全微分的概念,会求多元函数的偏导数与全微分。
(2)掌握隐函数存在定理。
(3)会求多元函数极值和无条件极值,了解偏导数的几何应用。
(4)掌握重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算。
(5)熟练掌握 Gauss 公式、Green 公式和 Stoks 公式及其应用。
6、含参变量积分
考试主要内容
含参变量积分的概念、性质。
考试要求
(1)了解含参变量常义积分的概念与性质。
(2)熟练掌握变上限积分。

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