全国硕士研究生入学统一考试数学专业《数学分析》考试大纲

 

I 考查目标

全国硕士研究生入学统一考试数学专业 《数学分析》考试是为我校招收数学硕士生设置的具有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读数学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利于选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为数学学科及社会的发展培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决问题能力的高层次、应用型、复合型的数学专业人才。考试要求是测试考生掌握分析、表达与解决问题的一些基本能力和技能。

具体来说就是：要求考生理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

II 考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间180分钟。 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试。不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。 三、试卷内容与题型结构 一元函数微积分 约占 60%，多元函数微积分 约占 25%，无穷级数 约占 20 有以下三种题型：   填空题或选择题（20%）、计算题（30%）、综合题（50%）

III 考查内容

　　1、极限和函数的连续性

　　 （1）熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量、无穷大量的概念及基本性质。

　　（2）掌握极限的性质及四则运算法则，能够熟练运用迫敛性定理和两个重要极限。

　　（3）熟练掌握：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，聚点定理，有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解其相互关系。

　　（4）熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够熟练地运用函数连续的四则运算与复合运算性质。

（5）熟练掌握闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理、最值定理、介值定理，一致连续性。　

（6）熟练掌握实数基本理论和性质，会用实数理论及性质表达和证明相关命题。

2、一元函数微分学

　　（1）理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。

　　（2）熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。

（3）熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及

Taylor展式。

　　（4）能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凹凸性。

　　（5）掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。

　　3、一元函数积分学

　　（1）理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，初等函数的积分。

（2）掌握定积分的概念与性质及可积条件与可积函数类。

（3）熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。

　　（4）能用定积分计算：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积及在物理上的应用。

　　（5）理解反常积分的概念。熟练掌握判断反常积分收敛的比较判别法，Abel判别法和 Dirichlet判别法。

　4、无穷级数

　  （1）理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。

　　（2）熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，比式判别法和根式判别法，积分判别法。

　　（3）熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的判别法。掌握绝对收敛级数的性质。

　　（4）熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Cauchy收敛准则， Weierstrass判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法。

　　（5）掌握幂级数及其收敛半径、收敛区间的概念。

　　（6）熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公式。

　　（7）掌握傅里叶级数的概念与性质，掌握傅里叶级数展开的方法。

　　5、多元函数微分学与积分学

　　（1）理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分，方向导数和梯度。

　　（2）掌握隐函数存在定理，隐函数和隐函数的求导方法。

　　（3）会求多元函数的极值和条件极值，了解偏导数的几何应用。

　　（4）熟练掌握重积分、两类曲线积分和两类曲面积分的计算。

　　（5）熟练掌握Gauss公式、Green公式及Stoks公式。

　　6、含参变量积分

（1）掌握含参变量正常积分、含参变量反常积分和欧拉积分的概念与性质及一致收敛的判别法。

　　（2）熟练掌握变上限积分及其性质。

IV. 题型示例及参考答案

1填空题（30分）： （1）极限   ；极限   。 （2）函数 的间断点是    ，该间断点的类型是第二类间断点。 （3）已知函数 可导，且 ，则  ；若取 。则 21   。 （4）改变积分 的积分次序为 。其极坐标形式为 。 （5）级数 的和函数是 ，及收敛区间为 。 2叙述 的 描述，证明数列 发散。（6分） 【解】 的 描述： ，使得对 ， ，成立 。数列 发散：对任意实数 ，取 ，则可以取 ，则有 ，故数列 发散。 3证明数列 收敛，若及其极限为 ，进一步证明 。（8分） 【证明】利用二项展开式，将 表示为 ， 比较 与 相应各项，注意到 ，得到 ，即数列 是单调递增数列，又 ，当 时，。