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专业课《高等代数》考研大纲和参考书目

参考教材及参考书：北京大学数学系前代数小组编，2013：《高等代数》（第四版），高等教育出版社。

课程内容（打＊部分内容或章节要求重点掌握）

多项式：

    ＊整除概念，带余除法理论；

最大公因式定义及求法；

＊多项式互素的概念与性质；

＊因式分解定理和不可约多项式的性质；

＊复系数与实系数多项式的因式分解；

       行列式：

＊行列式的定义；

＊行列式性质及按行按列展开法则，并用此计算行列式；

Laplace定理；

＊克拉默法则；

       ＊线性方程组：

            消元法；

            向量组的线性相关与线性无关性，向量组的极大无关组与秩；

            矩阵的秩及求法；

            线性方程组有解判别定理；

            线性方程组基础解系、通解及解的结构；

       ＊矩阵：

            矩阵线性运算，乘法，转置及运算律；

矩阵初等变换，初等矩阵；

逆矩阵及其存在条件，求逆矩阵；

分块矩阵运算；

        二次型：

＊二次型的矩阵表示；

矩阵合同

            ＊可逆线性变换化二次型为标准形；

              惯性定理；

            ＊正定二次型判定；

        线性空间

               线性空间的定义与性质；

             ＊有限维线性空间的基与维数，向量坐标；

             ＊基变换与坐标变换；

＊子空间定义，维数与基、维数公式；

＊子空间的交与和，直和；

线性空间的同构；

        ＊线性变换

             线性变换的运算，线性变换的矩阵

             特征值与特征向量；

             可对角化问题；

             线性变换的值域与核；

             不变子空间；

             若尔当标准形的概念；

             最小多项式；

       -矩阵

              -矩阵等价标准形；

             ＊不变因子、行列式因子、初等因子的概念及其关系；

             ＊矩阵相似的条件；

               若尔当标准形理论及求法；

        欧氏空间

               内积与欧氏空间定义，度量矩阵；

               施密特正交化方法求标准正交基；

             ＊正交变换，对称变换；

             ＊对称矩阵的标准形及用正交线性替换化二次型为标准形；

               酉空间介绍。

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