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国防科技大学2020年博士研究生入学考试自命题科目考试大纲
科目代码:3107 科目名称:代数学
一、考试要求
主要考查学生对代数学基本概念的理解与掌握,具体包括考查学生对群论、环论、模论、域论基本概念的理解与掌握;以及运用基本理论和方法,分析解决相关问题的能力。
二、考试内容
1.集合论与数论
集合及其运算,等价关系与分类,欧几里得算法,同余,欧拉函数,欧拉定理,费马定理,中国剩余定理,复整数范数的概念及性质,复整数的欧几里得算法,复整数的分解,高斯定理,p-adic数和赋值的概念与性质。
2.群论
群、子群的概念及基本性质,拉格朗日定理,循环群和置换群的基本性质,群对集合的作用,轨道,有限交换群的结构,正规子群和商群的概念及性质,群同态与群同构定理,自同构群, 群的概念与性质,Sylow定理,正规群列,单群,可解群, 定理。
3.环论
环和环同态的概念与性质,子环、理想、商环、零因子、幂零元、可逆元、域的概念及性质,同态基本定理,素理想与极大理想的概念及性质,局部环,幂零元根与Jacobson根的概念及性质,理想的运算、扩张与局限,分式环的概念及性质,分式环中理想的扩张与局限,准素理想的概念及性质,理想的准素分解。
4.模论
模和模同态的概念与性质,子模和商模的概念与性质,模同态基本定理,子模的运算,直和与直积,有限生成模的概念与性质,正合列,Hom函子的左正合性,蛇形引理,张量积的概念与正合性,纯量的局限与扩张,分式模的概念与性质,分式模的运算,模的局部性质。
5.域论
分式域、分裂域的概念,单纯扩张、有限扩张、代数扩张、超越扩张、正规扩张和可分扩张等概念及其性质,有限域的概念与基本性质,域的特征,极小多项式与扩张次数,域扩张的伽罗华理论及其应用。
三、考试形式
考试形式为闭卷、笔试,考试时间为3小时,满分100分。
题型包括:计算简答题、证明题等。
四、参考书目
1.《代数学(上)》(1、2、5章).莫宗坚等 编.高等教育出版社,2015年. 第二版
2.《Introduction to commutative algebra》. M.F. Atiyah, I.G.MacDonald. Westview Press, 1994,第一版.
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