国防科技大学2020年博士研究生入学考试自命题科目考试大纲

2A04《矩阵理论》考试大纲

一、参考教材

   《矩阵论简明教程》（第3版），徐仲、张凯院等编著，科学出版社，2014年1月。

二、考试内容（参考教材第一章至第八章）

第一章   矩阵的相似变换

熟练掌握：矩阵特征值和特征向量的概念和计算；矩阵的初等变换；Jordan标准形的概念和计算；Hamilton-Cayley 定理；最小多项式的概念和计算；矩阵酉相似对角阵的条件和计算。

掌握：矩阵的Smith标准形、不变因子、初等因子、行列式因子的概念；Schmidt正交化； Hermite正定矩阵（半正定矩阵）的概念和结论。

了解：矩阵对角化的应用；Jordan标准形的应用；

第二章   范数理论

熟练掌握： 向量范数的定义；矩阵范数的定义；常用的几种向量范数和矩阵范数的计算；向量范数与矩阵范数的相容性。

理解：向量范数的等价；从属范数的概念；谱半径的概念和应用。

了解：向量序列的敛散性；长方阵的范数；矩阵的条件数。

第三章   矩阵分析

熟练掌握：判定幂级数的敛散性；矩阵函数值的计算；函数矩阵的微分和积分的计算；数量矩阵对矩阵变量的导数；矩阵值函数对矩阵变量的导数。

掌握：收敛矩阵的概念； 常用矩阵函数的性质。

理解：矩阵序列的敛散性；矩阵级数的敛散性。

了解：矩阵分析的应用

第四章   矩阵分解

熟练掌握：矩阵的三角分解（LDR分解、Doolittle分解、Crout分解）、QR分解、满秩分解、奇异值分解。

掌握：Hermite正定矩阵的cholesky分解；Householder矩阵、Givens矩阵、Hessenberg矩阵；矩阵的奇异值。

理解：矩阵的酉等价。

了解：矩阵的极分解。

第五章   特征值的估计与表示

熟练掌握：盖尔圆定理及应用盖尔圆隔离矩阵的特征值；Ostrowski定理及应用Ostrowski定理隔离矩阵的特征值。

掌握：矩阵的Rayleigh商。

了解：广义特征值

第六章   广义逆矩阵

熟练掌握：广义逆的定义；Moore-Penrose方程；{1}逆的计算；M-P逆的计算

掌握：{1}逆和M-P逆在解线性方程组中的应用

了解：广义逆的存在唯一性

第七章   矩阵的直积

熟练掌握：直积的定义和性质；矩阵的拉直及其与直积的关系。

理解：利用拉直和直积的关系讨论矩阵方程的求解问题。

第八章   线性空间与线性变换

熟练掌握：线性空间的定义与性质；线性空间的基、维数与坐标；线性变换的概念和运算；欧式空间的概念与标准正交基

掌握：基变换公式和坐标变换公式；子空间的概念；维数公式；向量的长度概念；度量矩阵。

理解：不变子空间；零空间。

三、试卷结构（满分100分，时间180分钟）

按题型：