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2020年西北师范大学
硕士研究生入学考试
同等学力加试
微分几何 考试大纲
(科目代码：)
学院名称(盖章)： 数学与统计学院
学院负责人(签字)：
编 制 时 间： 2019 年 7 月 2 日
微分几何考试大纲
一、考核要求
理解曲线论和曲面中的一些基本概念，准确掌握研究微分几何的常用方法和基本结论。能够
以此为基础研究现代微分几何学，能够理论联系实际、分析和解决实际几何问题。
二、考核要点
第一章考核曲线论的基本概念、基本公式和基本方法；第二章考核正则参数曲面的概念，曲
面的第一、二基本形式，曲面的各种曲率、曲面上的各种方向和对应曲线，特殊曲面的几何
意义和几何特征；第三章考核等距对应和共形对应的基本概念，测地曲率的计算，测地线方
程和基本性质，Gauss-Bonnet 公式及重要结论，特殊曲面，理解测地曲率和测地线是内蕴几
何概念，了解协变微分。
三、考核内容
第一章 曲线论
第一节 曲线的概念
第二节 Frenet 标架
第三节 空间曲线的曲率和挠率
第四节 曲线轮的基本定理
第五节 密切曲面
第六节 特殊曲线
说明：掌握曲线的概念，空间曲线的基本三棱形，曲率挠率和 Frenet 公式。掌握特殊
曲线：平面曲线，一般螺线。掌握曲线上一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。
第二章 曲面论
第一节 正则曲面的概念
第二节 曲面的第一基本形式
第三节 曲面的第二基本形式
第四节 法曲率与 Weingarten 变换
第五节 主曲率、Gauss 曲率和平均曲率
第六节 渐近方向与渐近线、主方向与曲率线
第七节 特殊曲面
第八节 曲面论的基本定理
说明：掌握正则参数曲面的概念，掌握并能熟练计算曲面的第一基本形式、曲面的第二
基本形式、各种曲率，理解曲面上的特殊方向（指渐近方向和主方向）和特殊曲线（指渐近
线和曲率线）的几何意义。掌握可展曲面的几何意义和几何特征，懂得 Gauss 曲率是内蕴量，
理解曲面论的基本定理。
第三章曲面的内蕴几何
第一节 等距对应与共形对应
第二节 测地曲率与测地线
第三节 Gauss-Bonnet 公式
第四节 协变微分
第五节 常高斯曲率的曲面
说明：理解等距对应的意义。熟练掌握测地曲率的计算，掌握测地线的方程和基本性质。
熟记 Gauss-Bonnet 公式及几个重要推论。了解协变微分是欧氏平面上普通导数概念在曲面
上的推广。理解测地曲率和测地线是内蕴几何概念。掌握常高斯曲率曲面。
四、参考书目
1. 陈维桓编著，《微分几何》，北京大学出版社，2006 年.
2.苏步青，胡和生等，《微分几何》，高等教育出版社，1994 年.
3. 梅向明,黄敬之编,《微分几何》（第四版），高等教育出版社，2008 年.
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