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华侨大学 2018 年硕士招生考试初试自命题科目试题 (答案必须写在答题纸上) 招生专业 基础数学 科目名称 高等代数 科目代码 813 一、(本题 20 分) 给定线性方程组 1 2 3 4 1 3 2 4 1 1 x x x x a x x x x b ,问当 ,a b 满足什么条件时方程组有解?并在有解 时求其通解。 二、(本题 20 分) 设 2 1 1 1 2 1 1 1 2 A ,求一个正交矩阵 P ,使得 T P AP 为对角阵。 三、(本题 20 分) (1)求多项式 3 2 ( ) 3 2 2f x x x x 的有理根。 (2)设 ( )g x 是整系数多项式,若 (1), (2)g g 都是奇数,证明: ( )g x 没有整数根。 四、(本题 20 分) 设 ( )n M F 是 数 域 F 上 n 阶 矩 阵 全 体 构 成 的 线 性 空 间 , ( )n A M F , 记 [ ] ( ) | ( ) [ ]F A f A f x F x 。 (1) 证明: [ ]F A 是 ( )n M F 的子空间。 (2) 若 0 1 2 0 0 1 0 0 0 A ,求 [ ]F A 的一组基与维数。 (3) 设 A 的极小多项式 1 1 1 0 ( ) m m A m m x x a x a x a L ,求 [ ]F A 的一组基 与维数。 共 2 页 第 1 页 招生专业 基础数学 科目名称 高等代数 科目代码 813 五、(本题 20 分) 设 A 是数域 F 上 n 阶矩阵,定义矩阵空间 ( )n M F 上的变换: ( )X AX XA 。 (1)证明: 是 ( )n M F 上的线性变换。 (2)若 1 0 0 2 A ,求 在自然基 11 12 21 22 , , ,E E E E 下的矩阵 B ,并求Im( ) 和 ( )Ker 。 六、(本题 15 分) 证明:任意 n 阶矩阵都可以唯一写成对称矩阵与反对称矩阵之和。 七、(本题 20 分) 设 是数域 F 上 n 维线性空间V 上的线性变换。证明:存在V 上的线性变换 , ,使得 ,其中 是可逆变换, 2 = 。 八、(本题 15 分) 设 A 是复数域 £ 上 n 阶矩阵且秩满足 2 ( ) ( )r A r A 。证明: A 相似于分块矩阵 B O O O ,其中 B 是可逆矩阵。 共 2 页 第 2 页
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