2019年河南工业大学高等代数样卷考研大纲及硕士研究生入学考试试题

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河南工业大学
硕士研究生入学考试情况介绍
科目名称：高等代数
科目代码： 837
《高等代数》考试概要
一、要求和知识点
1. 一元多项式
（1）考试要求
○1 .理解数域的概念。
○2 .掌握一元多项式的运算规律，掌握整除的概念和性质，并会运用带余除法。
○3 .掌握辗转相除法，并会求最大公因式，掌握互素的概念和性质。
○4 .掌握不可约多项式的概念和性质，理解因式分解定理。
○5 .掌握重因式的概念和判别。
○6 .理解多项式函数概念，掌握余数定理。
○7 .掌握实系数、复系数和有理系数多项式的因式分解及判别法。
（2）知识点
一元多项式，因式分解，整除，有理系数多项式，最大公因式，重因式等
2. 行列式和矩阵
（1）考试要求
○1 .理解行列式的概念和性质。
○2 .掌握常见行列式的计算方法。
○3 .理解矩阵的概念、掌握单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质。
○4 .掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的幂与方阵的乘积的行列式以及它们的运算规则，
并会进行计算。
○5 .掌握矩阵的初等变换，初等矩阵的概念，并会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵。
○6 .掌握逆矩阵的概念及性质，以及矩阵可逆的条件，掌握利用伴随矩阵求逆矩阵的方法。
○7 .熟悉分块矩阵及其运算。
（2）知识点
行列式的概念和性质，行列式的计算，矩阵的概念、矩阵的加、减、乘等运算，数量矩阵，矩
阵的转置，矩阵乘积的行列式与秩，逆矩阵，矩阵的分块，初等矩阵，矩阵的等价，分块矩阵乘法
的初等变换。
3. 向量组的线性相关性
（1）考试要求
○1 .理解 n 维向量空间，向量的线性组合与线性表示的概念。
○2 .理解线性相关、线性无关的定义，并会应用向量组线性相关，无关的有关性质及判别法。
○3 .理解向量组的极大无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组及秩。
○4 .理解向量组等价的概念。
○5 .理解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
（2）知识点
线性组合，线性相关，线性无关，向量组和矩阵的秩。
4. 线性方程组
（1）考试要求
○1 .了解消元法求解线性方程组。
○2 .理解齐次和非齐次线性方程组的解的特点。
○3 .掌握判定线性方程组解的情况的方法。
○4 .理解线性方程组解的结构。
（2）知识点
消元法,向量空间，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构，基础解系。
5. 二次型
（1）考试要求
○1 .掌握二次型及其矩阵表示，理解二次型秩的概念。
○2 .掌握合同变换和合同矩阵的概念，理解二次型的标准形，规范形的概念，了解惯性定性及规
范形的唯一性。
○3 .掌握配方法和正交变换法化二次型为标准形的方法。
○4 .掌握正定二次型和正定矩阵的概念及判别。
（2）知识点
线性替换，n 元二次型，标准形，二次型的矩阵，规范形，惯性定理，正定二次型。
6. 线性空间
（1）考试要求
○1 .掌握线性空间定义与性质。
○2 .掌握线性空间的维数，基与坐标的概念和求法。
○3 .理解基变换与坐标变换的概念，会求过渡矩阵。
○4 .理解子空间的概念，掌握子空间的性质及生成的条件。
○5 .掌握两个子空间的交与和的概念及性质。
○6 .了解线性空间的同构的概念。
（2）知识点
线性空间的定义与简单性质，维数，基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交
与和，线性空间的同构。
7. 线性变换
（1）考试要求
○1 .理解线性变换的定义和运算。
○2 .掌握线性变换的矩阵求法。
○3 .掌握线性变换或矩阵的特征值与特征向量。
○4 .掌握矩阵的相似对角化问题。
○5 .理解线性变换的值域与核。
○6 .掌握不变子空间的概念和证明方法。
（2）知识点
线性变换的定义，运算，矩阵，线性变换的值域，核，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对
角矩阵的条件，不变子空间。
8.  -矩阵
（1）考试要求
○1 .了解多项式矩阵与矩阵多项式的关系， -矩阵等价与矩阵相似的关系。
○2 .掌握行列式因子、不变因子、初等因子的概念与计算。
○3 .掌握行列式因子与标准型的对应，初等因子组与 Jordan 标准形的对应。
○4 .掌握  -矩阵可逆的定义与判别条件.会计算  -矩阵的标准形，复系数矩阵的 Jordan 标准
形。
（2）知识点
 -矩阵的相关概念、等价以及判定；行列式因子、不变因子、初等因子的相关概念与应用； -
矩阵的标准形与 Jordan 标准形。
9. 欧氏空间
（1）考试要求
○1 .理解欧氏空间的定义及性质。
○2 .理解标准正交基的定义及判别方法。
○3 .理解子空间的定义和正交补的求法。
○4 .掌握正交变换和对称变换的判别条件。
（2）知识点
欧氏空间的概念，标准正交基，子空间，正交变换，对称变换。
二、教材及其参考书
[1] 《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳石生明修订，高
等教育出版社，出版年 2003.
[2]《高等代数》王萼芳编．高等教育出版社，出版年 2009.
[3]《高等代数选讲》，张同斌，万建军主编，合肥工业大学出版社，2009
河南工业大学
2017 年硕士研究生入学考试试题
考试科目代码及名称：837 高等代数共 2 页（第 1 页）
注意：1、本试题纸上不答题，所有答案均写在答题纸上
2、本试题纸必须连同答题纸一起上交。
一、（15 分）设齐次线性方程组










0
0
0
321
321
321
n
n
n
axbxbxbx
bxbxaxbx
bxbxbxax




，其中 2,0,0  nba .
讨论 ba, 为何值时，（1）方程组仅有零解？（2）有无穷多解？在有无穷多解时，求出通
解.
二、（15 分）设多项式 )(),( xgxf 互素，证明 1))()(),()((  xgxfxgxf .
三、（15 分）设 A 是 3 阶方阵， 21
, XX 分别是 A 的特征值 1，-1 的特征向量，且向量 3
X
满足 213
XXAX  .
（1）证明 321
,, XXX 线性无关；
（2）令 ),,( 321
XXXP  ，求 APP
1
.
四、（15 分）设 BA, 是 n 阶方阵，满足 BAAB  ，求证:
)()()()( ABrBrArBAr  ，其中 )( Ar 表示 A 的秩.
五、（15 分）设向量  能由向量组 s
 ,,1
 线性表出，但  不能由部分组 11
,, s
  线性
表出. 证明向量组  ,,, 11 s
 与 s
 ,,1
 等价.
六、（15 分）设V 为 n 维欧氏空间，证明：
（1）对V 中每个线性变换 ，都存在唯一的共轭变换 *
 ，即存在唯一的线性变换 *
 ，
使对任意 V , ，有 ))(,()),((
*
  ；
（2） 为对称变换   
*
；
考试科目代码及名称：837 高等代数共 2 页（第 2 页）
（3） 为正交变换 I 
**
（恒等变换）.
七、（15 分）设方程组 021
 n
xxx  的解空间为 M ，方程组
n
xxx  21
的解空间为 N ，求证 NM
n
 .
八、（15 分）设 A 是实数域上的n 阶对称矩阵，且 AA 
2
，并且 )1()( nrrAr  .
（1）求证 A 是半正定的；
（2）计算 ||
n
AAE   .
九、（15 分）设 22
F 是数域 F 上 2 阶方阵的全体，线性变换 在基 22211211
,,, EEEE 下的
矩阵为















1010
0202
1010
0202
A .即 AEEEEEEEE ),,,(),,,( 2221121122211211
 ，其中 ij
E 为第 ),( ji -
元素为 1，其余元素全为 0 的 2 阶方阵. 分别求 的像空间 Im 和核空间 Ker 的维数和
一组基.
十、（15 分）设 nn
F

是数域 F 上 n 阶方阵的全体，V 是 nn
F

的一个非空子集，且满足以
下条件：
（1）V 中至少有一个非零矩阵；
（2）对V 中任意方阵 BA, ，总有 BA  属于V ；
（3）对V 中任意方阵 A ， nn
F

中任意方阵 X ， XAAX , 都属于V .
证明: nn
FV

 .
河南工业大学
2017 年硕士研究生入学考试参考答案及评分标准
考试科目代码及名称：837 高等代数共 5 页（第 1 页）
一、解：设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，即

















abbb
babb
bbab
bbba
A





.
计算 1
)]()1([||


n
babnaA ………………………………………………………… 5 分
由克拉默法则知，当 0|| A ，即 ba  且 bna )1(  时， 0AX 仅有零解…..8 分
当 ba  时，















000
000
111




r
A ，此时 0AX 的通解为：
i
ni
i
i
cX 



1
1
，其中， i
c 为任意常数， i
 为第一个分量为-1，第 1i 个分量为 1，其余分
量为 0 的向量……………………………………………………………….11 分
当 bna )1(  时，
























0000
1001
0001
0101
0011






r
A ，此时 0AX 的通解为：
cX  ，其中， c 为任意常数， T
)1,,1(  ………………………………………….15 分
二、证明：（反证法）
设 ))()(),()(()( xgxfxgxfxd  ，则 )()(|)( xgxfxd ，注意到 )(),( xgxf 互素，
若 1)( xd ，不妨设 )(xd 不可约，则 )(xd 整除 )(),( xgxf 中之
一 ……………………………………………………………………………………….5 分
不妨设 )(xd 不整除 )(xg ，而整除 )(xf ，于是存在 )(1
xh 使得 )()()( 1
xdxhxf  .
考试科目代码及名称：837 高等代数共 5 页（第 2 页）
另一方面，注意到 ))()((|)( xgxfxd  ，于是存在 )(2
xh 使得
)()()()( 2
xdxhxgxf  ………………………………………………………………….10 分
进一步， ))()()(()()()()( 122
xhxhxdxfxdxhxg  ，故 )(|)( xgxd 矛盾….15 分
三、解：（1）由已知 21
, XX 是 A 的对应于不同特征值的特征向量，所以 21
, XX 线性无关，
且 21
XX  不再是 A 的特征向量…………………………….………………..…………5 分
并且 3
X 不是 A 的特征向量 . 事实上，若不然，则存在 A 的特征值  使得
2133
XXXAX   ，从而 321
XXX  仍为 A 的特征向量，矛盾. 同时说明 3
X 不能
由 21
, XX 线性表出，故 321
,, XXX 线性无关……………………………………..10 分
（2）由






















000
110
101
000
110
101
),,(),,(),,( 321321321
PXXXAXAXAXXXXAAP ，
再由（1）知 P 可逆，故












000
110
101
1
APP …………………………………………..15 分
四、证明：设 A 的行向量生成的空间为 1
V ， B 的行向量生成的空间为 2
V ， BA  的行向
量生成的空间为V ，AB 的行向量生成的空间为 0
V . 由于 BA  的行向量可由 A 的行向量
和 B 的行向量线性表出，故
21
VVV  ……..…………………………………………………..……………………..5 分
又由于 AB 的行向量可由 B 的行向量线性表出； BA 的行向量可由 A 的行向量线性表出，
而 BAAB  ，故 210
VVV  …………………………………………………………….10 分
由维数公式 0212121
d i md i md i md i md i md i md i m VVVVVVVV  ，又
021
dim)(,dim)(,dim)(,dim)( VABrVBrVArVBAr  ，故
考试科目代码及名称：837 高等代数共 5 页（第 3 页）
)()()()( ABrBrArBAr  …………………………………………………………15 分
五、证明：令 },,,,{},,,,{ 12121
 
 ss
BA  ，由已知  能由向量组 s
 ,,1
 线
性表出，得 B 能由 A 线性表
出……………………………………………………………………………………………5 分
另一方面，显然 121
,,, s
  均能由 B 线性表
出…………………………………………….7 分
事实上， s
 也可以由 B 线性表出. 注意到  能由向量组 s
 ,,1
 线性表出，故存在
s
kkk ,,, 21
 ，使得 ss
kkk   2211
.注意到  不能由部分组 11
,, s
  线性表
出，故 0s
k .于是 1
1
2
2
1
11


 s
s
s
sss
s
k
k
k
k
k
k
k
  .故 s
 也可以由 B 线性
表出.
综上可得 A 能由 B 线性表出.
于是，  ,,, 11 s
 与 s
 ,,1
 等价…………………………………………………….15 分
六、证明：（1）设 n
 ,,, 21
 为V 的标准正交基，令
An
 


,,, 21 
T
An
 


,,,* 21 
则 ))(,()),((
*
  . ………………………………………………………………..3 分
事实上，设 ,),,,)(,,,( 2121
T
nn
xxx    ,),,,)(,,,( 2121
T
nn
yyy   
,),,,(),,,()( 2121
T
nn
xxxA   
（ )),(,(),,,(),,,()),(
*
2121
 
T
n
T
n
yyyAxxx  …………………………….6 分
设还有 ，使 ))(,()),((
*
  ，来证明 *
  . 事实上，令
Bn
 


,,, 21 
有对任意 ,),,,)(,,,( 2121
T
nn
xxx    ,),,,)(,,,( 2121
T
nn
yyy   
T
nn
T
n
T
n
yyyBxxxyyyAxxx ),,,(),,,(),,,(),,,( 21212121
 
考试科目代码及名称：837 高等代数共 5 页（第 4 页）
从而 BA
T
 ，进而 *
  ， 的共轭变换唯一…………………………………………9 分
（2） 为对称变换当且仅当 AA
T
 当且仅当  
*
………………………………..12 分
（ 3 ）  为正交变换当且仅当 A 为正交阵当且仅当 EAAAA
TT
 当且仅当
I 
**
（恒等变换）…………………………………………………………….15 分
七、证明：显然 nnn
RNMRNRM  ,, …………………………………………..2 分
另一方面，设 021
 n
xxx  的系数矩阵为 A ，由 1)( Ar 知，其基础解系中含有 1n
个向量，故 .1dim  nM ………………………………………………………………..5 分
同理，设方程组 n
xxx  21 的系数矩阵为 B ，由 1)(  nBr 知，其基础解系中含有
1 个向量，故 .1dim N …………………………………..……………………………….8 分
又注意到
NM  当且仅当 为方程组





n
n
xxx
xxx


21
21
0
的解当且仅当 0 ，
于是 NMNM  ，且由维数公式知 nNM  )dim( …………………………….13 分
综上得知 NMR
n
 ………………………………………………………..………….15 分
八、解：（1）由 A 为实对称矩阵，于是存在正交矩阵 P 以及对角阵 ),,( 1 n
diag   使
得 APP
'
，其中 i
 为 A 的特征
值……………………………………………………………………………………….….2 分
由 22'
)( APP 以及  PAPPAPAPP
'2'2'
)( 知 2
 ，从而
2
ii
  ，故 0i
 或
1.即 A 的特征值都是非负数， A 半正定………………………….……………..10 分
（2）设 n
xxxxf  
2
1)( ，则 n
AAEAf  )( .
|))(,),((||)(||)(||)(||| 1
'
n
n
ffdiagfPPfAfAAE    ………..13 分
由 )1()( nrrAr  知有 r 个 i
 等于 1， rn  个 i
 等于 0，又 1)0(,1)1(  fnf ，
故 r
n
n
nffAAE )1()()(|| 1
   ………………………………………15 分
考试科目代码及名称：837 高等代数共 5 页（第 5 页）
九、解： 2)()dim(Im  Ar ……………………………………………………………..3 分
又 






02
02
22)( 211111
EEE ， 






10
10
11)( 221212
EEE ，且












10
10
,
02
02
线性无关，故 











10
10
,
02
02
构成 Im 的一组基……………………..6 分
2)(4)dim(  ArKer  …………………………………………………………………9 分
解齐次线性方程组 0AX ，由






























0000
0000
1010
0101
1010
0202
1010
0202
r
A ，
解得两个线性无关的解
TT
)1,0,1,0(,)0,1,0,1( 21
  ………………………………………………………….12 分
令 




 





 

10
10
),,,(,
01
01
),,,( 22221121121222112111
 EEEEEEEEEE .则 21
, EE 构成
Ker 的一组基……………………………………………………………………………15 分
十、证明：由（1）设 nnij
aA 
 )( 为V 中的一个非零矩阵，不妨设 A 的第 ),( ji -元 0ij
a .
设 ij
E 为第 ),( ji -元素为 1，其余元素全为 0 的n 阶方阵.由（3）知对V 中任意方阵 A ， nn
F

中任意方阵 YX , ，XAY 都属于V ,特别地 ijjjii
ij
EAEE
a

1
属于V .进一步对 ij
E 作初等行变
换和列变换可得 nn
F

的一组基 },1|{ njiE ij
 ，根据初等变换和矩阵乘法的关系又可知
ij
E 作初等行变换和列变换所得是形如 YXE ij 的矩阵，故 V 包含 nn
F

的一组基
},1|{ njiE ij
 ………………………………………………10 分
由（3）知对V 中任意方阵 A ， kAkEA  都属于V ，由（2）知对V 中任意方阵
,, CK )( CKCK  属于V ，即V 对矩阵的加法和数乘矩阵的运算是封闭的.
对 nn
F

中任意方阵 B ， ijnji ijnnij
EbbB  

,1
)( 属于V .从而 nn
FV

 ………15 分

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