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杭州师范大学硕士研究生入学考试命题纸
杭 州 师 范 大 学
2011 年招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码： 825
考试科目名称： 高等代数
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
1．（10 分）设f ( ) g( )x x， 和h(x) 是实系数多项式，且 3 2 2 4 4 6
x f(x) = x g(x) + x h(x) ，求证：
f(x)= g(x)= h(x)= 0 。
2、 （20 分）设 1 2
, ,..., ,n
a a a x 都是实数, 计算行列式
（1）
1
2
2
1
0 0 ... 0 0
1 0 ... 0 0
0 1 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
0 0 0 ... 0 1
n
n
n
n
x a
x a
x a
D
x a
x a
；（2）
1 2
1 2
1 1 2
1 2 3
...
...
. ...
... ... ... ... ...
...
n
n
n n
x a a a
a x a a
D a a x a
a a a x
。
3．（10 分）求证：一个 n m 矩阵 A 的秩 1 当且仅当 A 可以表示成一个 n 1 矩
阵与一个1 m 矩阵之积。
4．（16 分）设四元齐次线性方程组(I) 为
1 3
2 4
0
0
x x
x x
又知某齐次线性方程组(II) 的通解为 1 2
(0,1,1, 0) ( 1, 2, 2,1)
T T
k k 。
（1）求线性方程组(I) 的通解; (2) 线性方程组(I) 和(II) 是否有公共的非零解? 若没
有, 则说明理由; 若有, 则求出所有的公共非零解。
5．（24 分）令 m
( )n
M F
是数域 F 上 n m 矩阵的集合。
（1）已知： m
( )n
A B M F
， ，求证： ( B) ( ) (B)r A r A r ；
（2）已知： ( ), ( )m n m n n k n k
A M F B M F
且 0AB ，求证： ( ) (B)r A r n ；
（3）已知： 3
( ),n
A M F A A ，求证： 2
( ) ( - )r A r A I n 。
2011 年 考试科目代码 825 考试科目名称 高等代数 （本考试科目共 2 页 本页第 1 页）
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