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科目名称：量子力学 第 1 页，共 2 页
中国科学院研究生院
2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：量子力学
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、（共 30 分）质量为 的粒子在一维无限深势阱中运动，势能
0, 0
, 0
x a
V
x x a
或
(1) 求粒子的能级和归一化波函数。
(2) 画出处于第二、第三激发态的粒子的概率密度的示意图。
(3) 求坐标算符在能量表象下的矩阵元。
二、（共 30 分）质量为 的一维谐振子，带电 q，初始t 时处于基态 0| ．设
加上微扰
2
2
exp
t
H qEx
，其中 E 为外电场强度， 为参数。求t 时
谐振子仍停留在基态的概率。
三、（共 30 分）设一转动惯量为Ｉ、电偶极矩为 D 的转子自由地在 XY 平面内
转动， 转角为。
(1)试求其能量本征值和本征态。
(2)设沿 X 方向加上电场 E，即微扰哈密顿量为 cosH DE ，试用微扰论求其
基态能量的一级和二级微扰修正。
四、（共 30 分）
(1) 写出角动量算符的三个分量 xJ 、 yJ 、 zJ 相互间满足的所有对易关系。
(2) 试利用这些对易关系，证明矩阵元 nJm x 仅当 1 nm 时不为零。其中
m 、 n 分别为 zJ 的本征值为 m 、 n 的本征态。
(3) 设角动量量子数 1j 。 已知在 zJ 的某一个本征态 m 中， xJ 取值为 0 的概
率为 21 。求 xJ 取值为 的概率。
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