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中国科学院
2013 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目名称：概率论与数理统计
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、（10 分）假定通过验血可以诊断某种疾病，验血结果只有两种：阴性或阳性。
已知当结果显示为阳性时，的确患有该种疾病的概率为 0.95，而显示为阴性时，
患有该种疾病的概率为 0.02.有一个病人到某诊所看病，他告诉医生他感觉不舒服，
医生为他做了检查并验了血，在看到验血结果之前，医生认为他患病的可能性为
0.3，问在看到验血结果为阳性时该医生应如何修改他先前的判断？
二、（10 分）有 5 个家庭，每家有 6 个孩子，问至少有 3 家育有 4 个或更多个女孩
子的概率是多少？（假定每家的任一个孩子的性别与其他孩子的性别相互独立而
且是女孩的概率为
1
2
）
三、（共 30 分，每小题 15 分）设一家超市买入数量为B的某种商品，这种商品的
需求量是随机的，用Y表示（Y取非负整数值）。又假设每卖出一件这种商品，超市
盈利s元，而贮存一件所需费用为t元。
（a）试证：当Y取值为 y 时，超市在这种商品上的损失函数为：
L(y, B) = �
−sy + t(B − y), y ≤ B
−sB, y > ?
（b）假设Y的分布为P(Y = y) = py（已知），试求使超市获得平均最大盈利的B值。
四、（共 30 分，每小题 10 分）设R的分布密度为
f(?) = �
2?， 0 < ? < 1
0， 其他
（a） 试求概率P(? ≤ R ≤ ?), 0 < ? < ? < 1；
（b） 试求R的期望和方差；
（c） 现有 100 个相互独立且与R同分布的随机变量：R1 ，R2 ，⋯ , R100 。试
用正态分布表示如下概率：
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