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郑州大学 2004 年攻读硕士学位研究生入学试题 专业:基础教学、应用数学、计算数学与控制论与运筹 科目:数学分析 一、完成下列各题(每题 10 分,共 30 分) 1.叙述 的定义,并证明 在 x0=1 处左连续。 2.试证:当 x>0 时,sinx>x- 3.设 为可导函数,且 试求极限 二、完成下列各题(每题 12 分,共 60 分) 1.叙述 Riemann 积分的定义,并求极限 2. 验证:方程 在(0,0)在某领域内存在连续可导的隐函数 ,并求 3.设 试证:(1) 在(0,0)处的两个偏导数都存在,但不连续; (2) 在(0,0)处可微。 4.如图所示,曲线 在[0,1]上的一段与 x 轴的直线 AB 交于 C,C 点的横坐标为 。问 为何值时,阴影部分的面积 S 最小?并求出最小值。 5.设 S 为任一光滑的闭曲面,Is= 其中, 为 S 的外法向的方向余弦,r= 试证:(1)当原点在 S 外部时,Is=0;(2)原点在 S 内部时,Is=4 三、下列各题任选做四个题,(每题 15 分,共计 60 分) 1.设 在 上一致连续,在 上也一致连续。 (1)试证 上一致连续; (2)举例说明将条件 换成条件 时,结论不一定成立。 2.设 在 上连续,在 内可导, ,则存在 使 3.设 试证: 存在,并求其值。 4.(1)设 在 内收敛,且每个 在 b 处左连续,如果 发散,则 在 内非一致收敛。 (2)证明: 在(0,1)上非一致收敛
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