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徐州师范大学 2010 年硕士研究生入学考试业务课试卷
考生请注意：答案必须写在考点提供的答题纸上，写在本试卷上无效！
专业：基础数学、应用数学 考试科目： 数学分析 科目代码： 641
一、(本题满分 10 分) 求极限
1
40
2 sin
lim .
| |
1
x
x
x
e x
x
e
→
⎛ ⎞
+⎜ ⎟+
⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
二、(本题满分 10 分) 求极限
( )( )0 3 2
sin tan
lim .
1 1 1 sin 1x
x x
x x→
−
+ − + −
三、(本题满分 10 分) 讨论函数
2 1
2
1
sin
3 2
( ) lim ( ) lim
1
n
n nn n
x x
f x f x
x
π +
→∞ →∞
⎡ ⎤⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦= =
+
的连续性.
四、(本题满分 10 分) 证明方程 2x
xe = 在区间(0,1)内有且仅有一个实根.
五 、 ( 本 题 满 分 10 分 ) 设 函 数 ( )f x 在 [0,3] 上 连 续 , 在 (0,3) 内 可 导 , 且
(0) (1) (2) 3, (3) 1.f f f f+ + = = 试证必存在 (0,3),ξ ∈ 使 ( ) 0.f ξ′ =
六、(本题满分 10 分) 求函数 ( )2
ln 1y x x= + + 的二阶导数.
七、(本题满分 10 分) 设函数 ( )y y x= 由方程 y
e xy e+ = 所确定, 求 (0).y′′
八、(本题满分 10 分) 证明当 0x > 时, 2 2
( 1)ln ( 1) .x x x− ≥ −
九、(本题满分 10 分) 设 ( )f x 在[0,1]上连续, 证明:
( )2
1 1
2
0 0
( ) ( ) .
x
x
f t dt dx x x f x dx⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫
十、(本题满分 10 分) 确定幂级数
1
n
n
nx
∞
=
∑ 的收敛域, 并求其和函数.
本试卷共 2 页，第 1 页
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