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中国科学院长春应用化学研究所
二О О 七年攻读博士学位研究生入学考试
量子力学试题
一．（25 分）回答下列问题：
1．设 A 与 B 为厄米算符，则
1
2
（AB+BA）和
1
2i
（AB-BA）也是厄米算符，如此证明：
任何一个算符 F 均可分解为 F=F++iF-，F+=
1
2
（F+F+
），F-=
1
2i
（F-F
+
），F+与 F-均为厄米
算符。
2．设矩阵 A 和 B 满足
2
0, 1A AA A A
， B A A
（a） 证明 2
B B ；
（b） 在 B 表象中写出 A 的矩阵表示（设 B 本征态无简并）。
3．计算对易关系 ˆ ,L
，其中 , , ,x y z 。
4．证明矩阵的迹与表象的选择无关，即 ˆ ˆ
i i j j
i j
u A u v A v 。
5．在激发的氢原子中，若两个电子分别处于 p 态与 d 态，求出其总轨道角动量的可能
取值。
二．（15 分）做一维运动的粒子，已知哈密顿算符
2
0
ˆˆ ( )
2
p
H V x
满足的本征方程为
0
0
ˆ
n
H n E n ，如果哈密顿算符变成 0
ˆˆ ˆ p
H H
（ 为实参数），利用费曼-海尔曼
定理求变化后的能级 n
E 。
三．（20 分）线谐振子在 0t 时处于
0 1 2
1 3 1
( , 0) ( ) ( ) ( )
2 2 2
x x x x
态上，其中 ( )n
x 为线谐振子第n 个能量本征值 n
E 对应的本征函数。
（1）求在 ( , 0)x 态上能量的可测值、取值概率与平均值；
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