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空军工程大学 2012 年博士研究生入学试题
考试科目： 概率论与数理统计 （A卷） 科目代码 2003
说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题
号，写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试
卷作废，试题必须同试卷一起交回。
1. （10 分）若 ( | ) ( | )P A B P A B ，试证明： ( | ) ( | )P B A P B A 。
2. （8 分）设连续随机变量 X 的密度函数 ( )p x 关于点c 对称，试证明：其
分布函数 ( )F x 有
( ) 1 ( ), .F c x F c x x
3. （10 分）设 1 2
, ,X X 为独立同分布的随机变量序列，且方差存在。随
机变量 N 只取正整数值， ( )Var N 存在，且N 与{ }n
X 独立。证明：
2
1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
N
i
i
Var X Var N E X E N Var X
4. （10 分）设 X 是只取自然数为值的离散随机变量。若X 的分布具有无
记忆性，即对任意自然数n 和m ，都有
( | ) ( )P X n m X m P X n
证明： X 的分布必为几何分布。
5. （12 分）设从均值为 ，方差为
2
0 的总体中分别抽查容量为 1 2
,n n 的
两独立样本。 1X 和 2X 分别是两样本的均值。试证明：
对于任意常数 , ( 1),a b a b 21
Y a X bX
都是
的无偏估计，并
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