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桂林电子科技大学 2015 年研究生统一入学考试试题
科目代码：811 科目名称：数学分析
请注意：答案必须写在答题纸上（写在试题上无效）。
一、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
1. 曲线 ( ) ( arctan )
2
f x x x
的水平渐近线是____________.
2. 设函数
1, 0,
( )
sin , 0
x
e x
f x
x k x
在 0x 处连续, 则k ______________.
3. 若函数 ( )f x 在 x a 处可导, 则
0
( 2 ) ( 2 )
lim
h
f a h f a h
h
__________.
4. 将累次积分 2
1
0
d ( , ) d
x
x
x f x y y 交换积分次序后表示为_________.
二、计算下列极限与积分（每小题 8 分，共 32 分）
1. lim (cos 1 cos )
n
n n
2.
0
1 sin cos
lim
sinx
x x x
x x
3. 2
1
d
sin (2 )
x
x
4. 4 4
0
sin cos dx x x
三、计算题（每小题 9 分，共 36 分）
1. 求
L
yx
xyyx
22
dd
，其中 L 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.
2. 求在两个曲面 2 2 2
1x xy y z 与 2 2
1x y 交线上到原点最近的点.
3. 设 2 2
( , )
y
z f x y
x
, 且 f 具有 2 阶连续偏导数, 计算
2
,
z z
x x y
.
4. 设 为曲面 2 2
z x y 介于平面 0z 和 2z 之间部分的下侧, 计算(1) d S
,
(2) d dx y
.
四、分析解答题（每小题 10 分，共 30 分）
1. 叙述函数项级数
0
( )n
n
u x
在数集 D 上一致收敛的定义, 并证明: 2
0
cos
( )
1n
nx
f x
n
在(0, 2 )
内连续, 且有连续导数.
2. 计算级数
2
1
( 2)
4
n
n
n
x
n
的收敛域及和函数, 并计算
1
1
4
n
n n
的值.
3. 求
d S
z
, 其中 是球面 2 2 2 2
x y z a 被平面 (0 )z h h a 所截的顶部.
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