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华南理工大学
2011 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（请在答题纸上做答，试卷上做答无效，试后本卷必须与答题纸一同交回）
科目名称：量子力学
适用专业：凝聚态物理
本卷满分：150 分 共 2 页
第 1 页
（共 5 大题，每题 30 分）
1. 粒子的一维运动满足薛定谔方程：
V
xmt
i 2
22
2
。
(1)若 ),(1 tx 和 ),(2 tx 是薛定谔方程的两个解，证明
dxtxtx ),(),( 2
*
1 与时间
无关。
(2)若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛
定谔方程的通解形式。
2. 考虑一维双 势阱： )()()( 0 axaxVxV ，其中 00 V ， 0a 。
(1)推导在 ax 处波函数的连接条件。
(2)对于偶宇称的解，即 )()( xx ，求束缚态能量本征值满足的方程，并用图
解法说明本征值的数目。
3. (1)对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数。
(2)证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
(3)对于角动量算符
iLz ，证明它是厄米算符，并且求解其本征方程。
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