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青岛大学 2010 年硕士研究生入学考试试题
码科目代 ： 880 称科目名 ： 数学基础综合 （共 2 页 ）
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1（本题 15 分） 求极限 3
0
sin (1 )
lim
x
x
e x x x
x
．
2（本题 15 分） 计算积分 2
0
(sin )
(cos ) (sin )
f x
I dx
f x f x
．
3（本题 15 分） 设 ( )f x 在(0,1) 内有定义，且函数 ( )x
e f x 与 ( )f x
e
在(0,1) 内
都是单调不减的．试证 ( )f x 在(0,1) 内连续．
4 （ 本 题 15 分 ） 设 函 数 ( )f x ， ( )g x 在 [ , ]a b 上 连 续 ， 在 ( , )a b 内 可
导． ( , )x a b ， ( ) 0g x ．证明： ( , )a b ，使得
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f f f a
g g b g
．
5（本题 15 分） 设函数 ( )y x ( 0)x 二阶可导，且 ( ) 0y x ， (0) 1y ．过
曲线 ( )y y x 上任意一点 ( , )P x y 作该曲线的切线及 x 轴的垂线．上述两直线与 x
轴所围城的三角形的面积记为 1S ，区间[0, ]x 上以 ( )y y x 为曲边的曲边梯形面积
记为 2S ，并设 1 22S S 恒等于１．求此曲线 ( )y y x 的方程．
6（本题 15 分）设 ( ), ( )f x g x 是数域 F 上的多项式，( ( ), ( ))f x g x 表示 ( ), ( )f x g x
的首 1 最大公因式.证明：
( ( ) ( ), ( ) 2 ( )) ( ( ), ( ))f x g x f x g x f x g x .
7（本题 15 分） 设 A 为n 阶方阵且满足 2
nA I ， ( )r M 表示矩阵 M 的秩， nI
为n 阶单位矩阵.
（1）证明： ( ) ( )n nr A I r A I n .
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