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1 青岛大学青岛大学青岛大学青岛大学 2011201120112011 年硕士研究生入学考试试题年硕士研究生入学考试试题年硕士研究生入学考试试题年硕士研究生入学考试试题 科目代码: 880 科目名称:数学基础综合(共 2 页) 请考生写明题号,将答案全部答在答题纸上,答在试卷上无效 1. (本题满分 10 分)求行列式的值: n n n n axaa aaxa aaax D + + + = ⋯ ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ 21 21 21 . 2. (本题满分 20 分)设 A 为 n 阶方阵,满足 0232 =+− nIAA ,其中 nI 为n阶单位矩阵. (1)证明: nIArIAr nn =−+− )2()( . (2)证明:齐次线性方程组 0)( =− XIA n 的解空间 )( nIAN − 与 nIA 2− 的列空间 )2( nIAR − 相等. 3. (本题满分 10 分)讨论下列线性方程组解的情况: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−+++ =+++ =−+++ =++++ bxxxxx xxxx axxxxx xxxxx 54321 5432 54321 54321 3345 3622 323 1 . 4.(本题满分 15 分)设 A 为数域 F 上的n 阶方阵,满足 AA =2 .令 n F 的子空间 { }01 =∈= AXFXW n , { }XAXFXW n =∈=2 . 证明: 21 WWF n ⊕= ,其中⊕ 表示直和.
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