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第 页(共 2 页)1 青 岛 科 技 大 学 二○一二年硕士研究生入学考试试题 考试科目:数学分析 注意事项:1.本试卷共 9 道大题(共计 9 个小题),满分 150 分; 2.本卷属试题卷,答题另有答题卷,答案一律写在答题卷上,写在该试题卷 上或草纸上均无效。要注意试卷清洁,不要在试卷上涂划; 3.必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题,其它均无效。 ﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ 一(20 分)证明:若函数 ( )f x 在[ , )a 连续且 lim ( ) x f x 存在(有限),则函数 ( )f x 在 [ , )a 一致连续. 二(20 分) 证明: 正项级数 ( 1) 1 2 n n n 收敛. 三(20 分) 设函数 ( , )f x y 在 (0, 0) 的邻域连续, 2 2 2 ( ) ( , ) x y t F t f x y dxdy 求 0 ( ) lim t F t t . 四(20 分) 设 ( , )f x y 在区域 ,a x A b y B 连续,函数列 ( )n x 在[ , ]a A 一致收敛 且满足 ( ) ( 1, 2, )n b x B n ,证明:函数列 ( ) ( , ( ))n n F x f x x 也在[ , ]a A 一致收 敛. 五 (15 分) 求极限 cos 3 20 lim 1 1 x x e e x . 六 (15 分) 证明: 对任意的实数a 和b , 成立 1 1 1 a b a b a b a b .
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